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本帖最后由 愚工688 于 2019-6-9 05:57 编辑
艾拉托尼筛法筛法是筛选出偶数哥猜的素数对的有效工具
艾拉托尼筛法（Eratosthenes）：x不能被≤√x 的所有素数整除即为素数。这是目前判断素数的最基本有效的方法。
因此，运用艾氏筛法，我们可以筛选出 x 以下所有的素数。
其中分为2个部分：
1. 不能被≤√x 的所有素数整除，也就是除以≤√x 的所有素数时余数都不等于0—— 能够筛选出在（√x,x ]之内的全部素数。
2. 能被≤√x 的某个素数整除，商等于1 —— 即作为筛子的≤√x 的所有素数本身。
全部x内的素数数量，就是这两个部分之和。
（偶数）哥德巴赫猜想：任意大于5的偶数，能够表为两个奇素数之和。
在这个问题证明的探讨方案上同样可以使用艾拉托尼筛法筛选出素数对。
偶数2A (M=2A)表为两个整数可以用 p+(M-p)形式，由于构成素对的最小奇素数是3，因此最大余项 (M-p)是(M-3)。
因此使用艾拉托尼筛法用≤√(M-2)的全部素数（其中最大为r，下同）即可筛选出可能组成素数对的全部素数。
但是这样并不能正确筛选出与偶数2A素对有关联的素数。往往需要对A内的全部奇素数p筛选后再对M-p用≤√(M-2)的全部素数一一再次对M-p进行筛选以确定，得到的M-p与p构成了素数对的双记表示法的全部表法数，也就是通常称之谓“二次筛”的得到素对的方法。
这种方法实际上就是重复筛选，而且由于不能确定小区的素数哪个符合偶数素对的要求，就是没有把有用的素数与偶数之间建立合适的关联，只能一一重复对小半区的素数p的余下部分M-p用≤√(M-2)的全部素数一一再次进行筛选。
大偶数时对M-p的判断尤其变得困难，以致不得不生造了一个概念模糊的名字“殆素数”来表达 M-p。
如何使用艾拉托尼筛法，得到偶数2A 的素对有关联的素数呢？
这就要把偶数2A (M=2A)表为两个整数的形式做个改变：M=(A-x)+(A+x) 。
于是我们使用艾拉托尼筛法来筛选偶数2A的素对就可以从原来的筛选 M-2 以下的全部素数转变成筛选A-x与A+x不能被≤√(M-2)的全部素数整除的的方式，由于A是所求偶数2A的半值，是已知值，实际上就是求自然数区间[0,A-3]中能够组成素对A±x的x值，这样筛选条件与具体的偶数2A建立了紧密的关联。
判断x所构成的A-x与A+x 是否成为素对，可以归纳为如下2个情况：
条件a ：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，成为素数对；这是偶数表为两个素数和的主要部分；是能够用连乘式进行近似计算的；
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数也都是素数；
（相当于素数筛选中作为筛子的≤√x 的素数部分）这部分的素数对数量缺乏计算条件，其数量相对于条件a的素对数量，随偶数的增大，最大占比越来越小。
若把偶数2A的符合条件a的x值数量记作S1(m）,符合条件b的x值数量记作S2(m）,那么偶数M的全部素对数量S(m)，有
S(m)=S1(m）+S2(m）. ------- {式1｝
怎么样筛选符合条件a ：A-x与A+x成为素数对的x值呢？（不考虑符合条件b的x值的筛选）
显然要使得A-x与A+x 都不能够被≤r的所有素数整除，那么x与A值除以这些素数的余数之间必然有对应的关系：
把A除以素数2，3，…,n,…，r时的余数记为j2,j3,…，jn,…，jr，那么
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于j2,j3,…，jr中的某个值时，那么A-x必然能够被该值所对应的素数整除；
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于A除以某个素数n余数的补数(n-jn)时，那么A+x必然能够被该素数n整除。
因此，当x值除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的数，必然能够与A构成偶数的素对A±x;
（j2,j3,…，jr系A除以素数2，3，…，r时的余数。）
依据概率的独立事件的乘法定理的推广，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2·3·…·n·…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
在小偶数区域，素对计算值Sp(m)与实际上偶数素对中符合条件a的素对数量S1(m)值的大小、变化规律是相当接近的。
以素对数量以及计算值的图形为实例：
因为x值的取值区间为一个自然数的小区间，[0，A-3] ，它们除以各个素数的余数呈现周期性循环变化。余数周期变化的数列中排除了上面所述的部分余数条件后必然会余下其它的余数条件的x值，而与A构成素对 A±x。
为什么越来越大的偶数的素对低位值会越来越大呢？从筛选的条件就可以看出这是必然的现象：
x除以某个素数n时余数等于jn与补数(n-jn)时，那么A±x分别能够被该素数n整除；其最多筛除率为2/n。
n=3时：最多筛除率为2/3；
n=5时：最多筛除率为2/5；
n=7时：最多筛除率为2/7；
n=11时：最多筛除率为2/11；
n=13时：最多筛除率为2/13；
……
显然越大的素数的最多筛除率是越来越小的。
再看看偶数2A与参与筛选的最大素数的关系：
偶数2A≤10，最大素数为2；
偶数2A≤5^2+1=26，最大素数为3;
偶数2A≤7^2+1=50，最大素数为5;
偶数2A≤11^2+1=122，最大素数为7;
偶数2A≤13^2+1=170，最大素数为11;
偶数2A≤17^2+1=290，最大素数为13;
……
显然x的取值区里间的数增多几乎是以素数n的平方增多的，而筛余率则以 *（1-2/n)的比例越来越缓慢的下降，
如果用一个偶数素对区域下界函数 infS(m) 来表示，则有
S(M)min ≥ infS(m)=0.826(A-2)/2 *π(1-2/r)
就是 infS(m)=0.413(A-2)*π(1-2/r)；----{式6}
这里的r包含√(M-2)以内的全部奇素数,其中最大素数是r。
偶数素对区域下界函数 infS(m)的图形具有两个单调上升的特征：
1）在最大素数r不变的区域，p(m)min是个常数，下界计算值infS(m)是个随A增大而单调线性上升的数值；
2）在不同的r区域的偶数，表法数的最低发生率p(m)min 会随素数r增大而逐渐下降，但是由于A的增大速度远超过P(m)min的下降速度，因此各个不同的r区域首位偶数的下界计算值infS(m)仍是个随素数r变大而单调上升的数值。
若要进一步定量的估计一定大小的偶数表为两个奇素数之和的下界值，
由于
infS(52)≈ 1.41 ，向上取值为2.因此≥52的偶数M的表为两个奇素数之和的表法数下界值S(m) ≥2；
infS(124)≈ 2.9 ，向上取值为3;因此≥124的偶数M的表为两个奇素数之和的表法数下界值S(m) ≥3；
infS(1372)≈ 16.6 ，向上取值为17;因此≥1372的任意偶数M的表为两个奇素数之和的表法数下界值S(m) ≥17；
infS(1684)≈ 19.4 ，向上取值为20；因此≥1684的偶数M的表为两个奇素数之和的表法数下界值S(m) ≥20；
……
在更大的偶数区域，区域下界计算值与真值的相对误差：
在偶数1000亿以上时素对区域下界值的相对误差绝对值不到0.05 ，应该是相当接近下界真值了：
G(100000000000) = 149091160；
inf( 100000000000 )≈ 142957976.6 , Δ≈-0.041137 ,infS( 100000000000 )= 107218482.41 ,
G(100000000002) = 268556111；
inf( 100000000002 )≈ 257491343.1 , Δ≈-0.041201,infS( 100000000002 )= 107218482.41 ,
G(100000000004) = 111836359；
inf( 100000000004 )≈ 107224584.4 , Δ≈-0.041239,infS( 100000000004 )= 107218482.41 ,
G(100000000006) = 111843604；
inf( 100000000006 )≈ 107245660.7 , Δ≈-0.041110,infS( 100000000006 )= 107218482.42 ,
备注：这里的下界计算值 inf(M)是具有波动的，其与{式6}区域下界计算值的关系：
inf(M)= K（m）× infS(m);
式中， K(m)=π(p1-1)/(p1-2) ;p1系偶数含有的奇素因子，p1≤r . K(m)即是偶数M的素因子系数，也可称之为波动系数。
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发表于 2019-6-9 13:34