张氏八构为什么不能归入Z2—构形

雷明85639720

张氏八构为什么不能归入Z2—构形
——兼回答张彧典先生如何逆时针颠倒三步可以使八构变成K—构形而解决问题
雷  明
（二○一七年九月六日）

张彧典先生在其《四色问题探秘》一书中，对他的第八构形用逆时针颠倒的方法，进行了九次交换，才给待着色顶点V着上了图中已用过的四种颜色之一，认为该构形与他的第二构形（也即Z2—构形）是两类不同的构形；由于Z2—构形的左右对称性，所以张先生最近又对Z2—构形和八构用了顺时针颠倒的方法，只进行了三次交换，两构形均可得到解决，所以又认为八构与Z2—构形是同一类构形。而我仍认为八构与Z2—构形是两种结构明显不同的构形，不能划归为一类。相反的，我却认为八构与我的d类构形是相同的一类构形。理由如下：
    八构中不含有任何的环形链，但又不能同时移去两个同色B，与我的分类中的c类或d类构形是同一类构形。只能用转型交换法，使构形转化成可同时移去两个同色的K—构形或Z2—构形后，进行解决。
1、八构和我的d类构形都可以转化成可以同时移去两个同色的K—构形
从构成H—构形的几个最基本的图（如图1）中可以看出，只所以图1，a、图1，c和图1，d可以同时移去两个同色B，是因为两个同色顶点1B和3B中至少有一个B色顶点到A—C链和A—D链两链的交叉顶点8A有一条连通的B—A边（见图1中的a、c、d图）。以致从1B交换了B—D后，生成了从顶点8A到顶点1D的A—D边，使得从3B到5C不可能再有连通的B—C 链；而从3B交换了B—C后，则生成了从顶点8A到顶点3C的A—C边，也使得从1B到4D不可能再有连通的B—D链；从而可以同时移去两个同色B。读者可以对图1的a、b、c图进行交换，试试看是否可以同时移去两个同色B。

现在看看图2，a我的d类构形，在施行了一次转型交换后，是不是与图1，d有同样的结果呢。对图2，a的构形从3B施行了一次顺时针转型交换后得到图2，b，是一个345—CDC型的5—轮构形。图2，b中D—A链和D—B链的交叉顶点是7D（即图中加大的顶点），5—轮轮沿顶点中用了两次的颜色是C，从7D到5C有一条C—D链（即图中加粗的边链）；当从顶点5交换了C—A后，生成了从2A到5A的A—D连通链（如图2，c中加粗的边链），使得从顶点3C到1B不可能再有连通的C—B链，从而可以再从3C交换C—B，同时移去两个同色C（如图2，d）。这就证明了无环形链的d类H—构形是一定可以转化成为可以同时移去两个同色C的K—构形的。这一转型交换总共用了三次交换。


张氏八构与我的d类构形是一样的，同样也可以采用图2的转型交换方法进行着色（如图3），三次交换也可解决问题，而Z2—构形顺时针颠倒也是只用了三次交换。这就是张先生最近认为其八构又与Z2—构形是同一类构形的原因。虽然图3，c中不象图2，c那样，存在从5A到2A的连通链A—D，但却也不存在从3C到1B的C—B链，所以仍是可以再从3C交换C—B，同时移去两个同色C的。这也就是张先生前几天画图解决八构的办法。
2、八构和我的d类构形都可以转化成Z2—构形，再转化成坎泊的K—构形

在图2，a我的d类构形中，有通过顶点2A—3B……8A—7D—2A的缺口是7D的A—B圈（如图4，a中加粗的边链），当对图4，a从顶点1交换B—D时，顶点7D变成了7B，就形成了一条完整的、环形的A—B链（如图4，b中加粗的环形链），把C—D链分成了环内、环外互不连通的两部分，构形具有了图1，b（即Z2）构形的特点了。一定是可以转化为K—构形的。交换A—B环形链内的D—B链（如图4，c），就可使构形成为K—构形，再从顶点3交换B—C链，就可空出B给待着色顶点V着上（如图4，d）。这一方法，我已在评论张先生的《探秘》书的文章中，不知讲了多少遍了，也画了多少遍图了。前两天我答应闲了时，给张先生画图表演一下该构可转化成Z2—构形的解决办法，现在就献给张先生看看。
这里我们虽然只说了d类构形，实际上由于c类构形与d类构形只是链的左右分布的不同，用同样的方法同样是可以解决问题的。
3、八构与Z2—构形的解决方法实际上是不同的，不是同一类构形
张先生说八与Z2—构形的解决办法是相同的，是同一类构形，这是错误的。其解决方法是否相同，我们分析一下：
八构与Z2—构形，都可以用两种方向进行颠倒，三次交换可分别得到解决，这只是表现了解决办法相同的一面；但Z2—构形还可以交换环形的C—D链内、外的任一条A—B链得到解决，而这一点八构却是不具备的。从这一点上说，八构与Z2—构形的解决办法又是不同的。在众多的解决方法中，只要有一种方法不同，他们的解决方法也就是不同的了。只有众多的方法都相同时，才能说二者解决的方法是相同的。
然而八构与我的d类构形相比较，都只能用颠倒法（或叫转型法）解决，且无论是从逆时针方向进行，还是从顺时针方向进行，各步得到的结果都是相同的，也都是只用了相同的三次交换，就可以解决问题。也只有象这样的所有解决方法都完全相同的构形，也才能叫做同一类构形。所以说张先生的八构与我的d类构形是同一类构形。
4、八构与Z2—构形的结构是完全不同的两种构形
Z2—构形和八构中都有连通的A—C 链和连通的A—D链，两链也都有共同的起始顶点2A，也有共同的相交叉顶点8A，都不能同时移去两个同色B。这是两构形的共同特征；但还有不同的地方：Z2—构形中有一条环形的C—D链，而八构中是没有的；由于这一点的不同，就产生了Z2—构形中的A—B链是两条，且互不连通，可以交换任一条A—B链而使连通的A—C链和A—D链“断链”；而八构中的A—B链和C—D链都只有一条，任一条都不能进行交换，而只能进行转型交换。转型后再按转型的结果（转型后得到的构形）进行解决。就是因为二者在结构上的这一不同之处，也就使得二者的解决办法除了相同的方法外，又有不同的解决办法。所以八构和Z2—构形不是同一类构形，而只能与我的d类构形划归为一类。


雷  明
二○一七年九月六日于长安

注：此文已于二○一七年九月六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

你已被子禁止了，跑来干什么。