再谈H—构形的解法——兼论H—构形中环形链间的关系

雷明85639720

再谈H—构形的解法
——兼论H—构形中环形链间的关系
雷  明
（二○一七年八月二十八日）

H—构形的最基本模型如图1，其中有两条连通链A—C和A—D，两链既有共同的起始顶点2A，又有相交叉的顶点8A。若在顶点2A—1B—8A—3B—2A间有一条环形链时，就不可能再有4D—5C—7D—6C—4D间的环形链，要么，A—B链和C—D链都不是环形的，而是直链。如图2。

如果有以上所说的A—B环形链时，就是我对H—构形分类中的a类H—构形，交换被A—B环形链所分隔开的任一条C—D链，都可以使构形变成K—构形；如果有以上所说的C—D环形链时，就是我对H—构形分类中的b类构形，交换被C—D环形链所分隔开的任一条A—B链，也都可以使构形变成K—构形，赫渥特图就是这样交换的；如果以上所说的两条链都不是环形链时，就是我对H—构形分类中的c（或d）类，就得交换1B—7D的B—D链或3B—6C的B—C链，使构形转型（即使构形变成两个同色不再是B，而是别的颜色（如C或D）的别另外形式的H—构形，再通过一次交换后，则一定可以使构形变成K—构形。如果既有过以上所说的2A、1B、8A和3B中部分顶点的A—B链，又有过以上所说的4D、5C、7D和6C中的部分顶点的C—D链，这就是既属于我所分类的a类，又属于我所分类的b类。既可以用解决a类的办法解决，又可以用解决b类的办法解决。敢峰—米勒图就是这样交换的。如图3和图4，这也类似于敢峰米勒图。

图3中有一条经过了2A、1B、8A和3B的环形的A—B链（属于a类构形），也有一条不经过8A，而只经过2A、1B和3B的环形的A—B链。这时，图中的环形的C—D链就不可能全部经过4D、5C、6C和7D四个顶点，而只能经过了4D和5C，或者只经过6C和7D。解决的办法只能是交换环形的A—B链内外的C—D链（不管其是环形的还是直链都可以），构形就变成了K—构形；
图4中有两条经过了4D、5C、7D和6C的环形的C—D链（属于b类构形），也有一条不全部经过以上4D、5C、7D和6C的环形的C—D链，图中的环形的A—B链只经过了2A、1B、和3B，或者只经过8A，同样不可能经过2A、1B、8A和3B四个顶点。解决的办法也只能是交换环形的C—D链内外的A—B链（也不管该链是环形的还是直链都可以），构形也就变成了K—构形。

图 5是既没有全部经过2A、1B、8A和3B四个顶点的环形的A—B链。也没有全部经过4D、5C、7D和6C四个顶点的环形的C—D链，但却有不全部经过2A、1B、8A和3B四个顶点的环形的A—B链与不全部经过4D、5C、7D和6C四个顶点的环形的C—D链。具有与敢峰—米勒图一模一样的特征，这才是真正的类似敢峰米—勒图的图。同样的交换任一条A—B链或任一条C—D链，都可以使A—C和A—D链断开，成为坎泊的K—构形。所以图5的构形也是既属于a类构形，也属于b类构形。虽然图中没有全部经过2A、1B、8A和3B四个顶点的环形的A—B链，也没有全部经过4D、5C、7D和6C四个顶点的环形的C—D链，胆用解决办法，却与有全部经过2A、1B、8A和3B四个顶点的环形的A—B链，或有全部经过4D、5C、7D和6C四个顶点的环形的C—D链，胆用解决办法是相同的，所以它应是既属于a类的构形，也属于b类的构形。
不管是什么样的构形，只要构形变成了坎泊的K—构形，就都是可约的了，给待着色顶点V着上图中已用过的四种颜色之一是没有问题的。
若a类构形是九点形时，本身就是K—构形，可以同时移去两个同色B；若c（或d）类构形是九点形时，本身也是K—构形，也可以同时移去两个同色B；这两类构形只要不是九点形时，才是属于H—构形。
解决a，b两类H—构形的关链是要使A—C和A—D链断链，也就是说，只要图1或图2中的九点形中有任何一个顶点的颜色发生了改变，以上两条连通链就会从某一个顶点断开，就可以使构形成为坎泊的K—构形。以上我们所说的那些交换，都可以做到这一点，所以这两类H—构形中的待着色顶点V是一定能着上图中已用过的四种颜色之一的。至于c（或d）类构形，上面已经说了，也一定是可以变成K—构形的。

雷  明
二○一七年八月二十八日于长安

注：此文已于二○一七年八月二十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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