两个关于地图着色色数的猜想

雷明85639720

两个关于地图着色色数的猜想
雷  明
（二○一七年七月十八日）

1、泰特的猜想是：无割边的3—则平面图的可3—边着色与其可4—面着色是等价的。这个我们已经证明其是正确的。即可3—边着色的无割边的3—正则平面图是可4—面着色的；而可4—面着色的无割边的3—正则平面图也是可3—边着色的。我们还证明了任何无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的，这就相当于证明了地图四色猜测是正确的（因为地图本身就是一个无割边的3—正则的平面图）。地图四色猜测是正确的，那么地图的对偶图——极大平面图——的顶点着色的色数也就不会大4。由极大平面图经过“去顶”或“减边”而得到的任意平面图的色数只会比极大平面图少决而不会再增大，所以也就相当于证明了平面图的四色猜测也是正确的。
2、对一个已经3—边着色的无割边的3—正则平面图，采用颜色叠加法进行可4—面着色时，一定要用到两种边2—色回路（圈），比如在用了1、2、3三种颜色进行了3—边着色的无割边的3—正则平面图中，就有1—2—1，1—3—1和2—3—2三种边2—色回路（圈）。在颜色叠加的过程中，我们发现，有些图的面着色数只能是4；而有些图的面着色既可以用4种颜色，也可以用3种颜色。虽然我们还不知道这其中的奥秘（或者说是原理），但我们却发现了在颜色叠加时，所用的两种边2—色回路中至少有一个是哈密顿圈时，其面着色一定得用4种颜色（如图3和图4），而两种边2—色回路都不是哈密顿圈时，其面着色的色数则一定是3（如图1和图2）。
3、这样我们就有以下的两个关于着色数的猜想：根据给可3—边着色的无割边的3—正则的平面图采用颜色叠加法进行面着色的实践，我们发现：在颜色叠加时，所用的两种边2—色回路中至少有一个是哈密顿圈时，其面着色一定得用4种颜色：而两种边2—色回路都不是哈密顿圈时，其面着色的色数则一定是3。我们还发现：在面着色数是3时，各边2—色回路都把图分成大于两部分，图中所有的面也都是边2—色圈；而在面着色数是4时，至少有一种边2—色回路把图只分成了两部分，图中的面既有边2—色圈，也有3—色圈。
于是，我猜想：①所有面全都是边2—色圈的3—边着色的3—正则平面图的面色数一定是3；②所有面不全是边2—色圈的3—边着色的3—正则平面图的面色数一定是4。
4、分析：如果一个图是可哈密顿的，则其至少要有一条（种）边2—色回路是路经过全图所有的顶点。否则图就是不可哈密顿的。
①  若在图中至少有两种边2—色圈是哈密顿圈的情况下，颜色叠加时才能做到两种边2—色圈中至少有一种是哈密顿圈（如图3和图4），颜色叠加的结果是4种颜色；而在图中最多只有一种边2—色圈是哈密顿圈的情况下，颜色叠加时才能做到两种边2—色圈全都不是哈密顿圈。颜色叠加的结果才是3种颜色。
②  颜色叠加的实践中可以看出，在着色是3种颜色时，各边2—色回路把图分成大于两部分的图，同时图中所有的面也都是边2—色圈，如图1和图2；而在着色是4种颜色时，各边2—色回路中至少有一种只把图分成了两部分的图，同时图中所有面并不都是边2—色圈。如图3和图4。
也可以这样说：所有面不全是或者全都不是边2—色圈（即有一部分面是3—色圈或者全都是3—色圈）的图的面着色数一定是4（如图3，图4和图7），而所有面全都是边2—色圈（即没有3—色圈的面）的图的面着色数则是3（如图1，图2和图8）。这正说明了只有一个面是3—色圈时，则图的面数色就是4。可以说，至少有一个面是奇数边面的无割边的3—正则平面图3—边着色时，一定会有一个面是3—色圈的。如图5的三楞柱和图6的五楞柱。






③  如果一个图是可哈密顿的，且图中至少有两种边2—色回路是哈密顿的。在颜色叠加时，两种边2—色圈必然至少有一种是哈密顿圈，着色结果一定是4—色的；如果图虽是可哈密顿的，但该图在边着色时，也可以着成3种边2—色圈都不是哈密顿的（如图1和图2）。这种情况下，在颜色叠加时，两种边2—色圈就可以做到都不是哈密顿圈，则着色结果一定是3—色的。
④  面数最少的多面体——正四面体和面数最少的地图——只有两个国家在一个海岛上的地图，也都是可哈密顿的图，其中也至少有两种边2—色圈是哈密顿的，如图7和图8。这两个图不同之点是：图7中的面都不是边2—色圈，而图8中的面却都是边2—色圈。


⑤  不可哈密顿的图中，没有哈密顿时回路，其中的各种边2—色圈至少有两条以上。在产色叠加时，任两种边2—色圈都不是哈密顿圈，其面色数却是4。这正好与以上的可哈密顿的图现象相反。是什么原因，现在还不明白，只能从现象上看，是有这样的结果。从颜色叠加的实践中已经知道塔特图和已知最小的平面三次图都是这样的，其面着色的色数的却就是4。如何能使这其中的奥秘得到解决，还得请求研究四色问题的爱好者网友们给以研究探讨。
5、需要解决的问题是：
①  颜色叠加的原理是什么？
②  为什么同是颜色叠加，有时新生成四种新颜色，有时新生成三种颜色？
③  为什么同是在颜色叠加时，都至少有一种边2—色圈不是哈密顿时圈，或者两种都不是哈密顿圈的情况下，非可哈密顿的无割边的3—正则平面图的面色数就只能是4，而可哈密顿的无割边的3—正则平面图的面色数不但可以是4，也可以是3。


                            雷  明
二○一七年七月十八日于长安


注：此文已于二○一七年七月十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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