① 图11,a的情况是属于a、b两顶点所处的边原来着色是相同的情况。这种情况实际上a、b两顶点又是处于同一个边—2色圈(如图11,a中是2—3二色的边2—色圈)上的,实际上也是属于上面3、2、1中“a、b两顶点处在同一个边2—色圈上的情况”的情况,已经得到了解决。
② 当a、b两顶点真正处在不同的两条相同颜色构成的边—2色圈上的情况下,如果a、b两顶点所处的边原来着色是相同的(如图12,a),则a、b两顶点实际上也是处于相同的另一条边—2色圈上的(如图12,b中的1—3二色的边—2色圈),也属于上面图8一类的情况,是可3—边着色的(如图12,c,图中的a—b边着色2)。
③ 当a、b两顶点真正处在不同的两条相同颜色构成的边—2色圈上的情况下,如果a、b两顶点所处的边原来着色是不同的(如图13,a和图14,a),也不管被a—b边所分的面是奇数边面还是偶数边面,都可对其中一个边2—色圈中各边的颜色进行交换(也比如左侧的边2—色圈。当然这种交换也是不会影响到着第三种颜色的边的),便可以使a、b两顶点又处在同一个另外两种颜色的边2—色圈上(如图13,b和图14,b都是2—3二色的边2—色圈),使问题变成如上面的第一种情况——“a、b两顶点处在同一个边2—色圈上的情况”,用与其相同的办法可以使图进行3—边着色(如图13,c和图14,c中的a—b边着色1)。图仍是一个可3—边着色的3—正则平面图。
3、2、3 这也就证明了任何一个无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的。
3、3 以上我们是对有n+1个面的无割边的3—正则平面图进行证明的,同样的也可以对有n-1个面的无割边的3—正则平面图证明是可3—边着色的。这只要从有n个面的3—正则平面图中去掉一条边即可办到。
3、4 现在已经证明了无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的,这也就等于验证了任何无割边的3—正则平面图也都是可3—边着色的结论是正确的,也就验证了任何无割边的3—正则平面图都是可4—面着色的结论也是正确的。最终也就验证了地图四色猜测是正确的。
4、四色猜测的证明
我们已经证明了泰特的猜想:“无割边的3—正则平面图的可3—边着色,等价于其可4—面着色”是正确的。现在又证明了每一个无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的。当然也就证明了任何无割边的3—正则平面图(地图)也都是可4—面着色的,即证明了地图四色猜测是正确的。地图四色猜测是正确的,则其对偶图——极大图平面图——的顶点着色的色数也一定是小于等于4的,进而由极大平面图经“减边”和“去点”得到的任意平面图的色数也一定是不会大于4的,平面图的四色猜测也是正确的。到此也就证明了四色猜测是正确的。