敢峰：《海岛理论与四色问题 ——再证四色定理兼论拓扑思维（修订稿）》（一）

雷明85639720

海岛理论与四色问题
——再证四色定理兼论拓扑思维
（修订稿）（一）
（2017年4月30日修订）
敢  峰
                                                        
关键词：海岛理论 可控调节 反求思路 终极图 拓扑思维
关键语：求证四色定理路在何方？依据海岛理论，跨越“四色陷阱”，走出“构图迷宫”，秉承反求思路构建四色不可解线路集合的终极图，最后通过可控调节得证。本证明与我1992年用演绎筛法得到的证明，是相互印证的姊妹篇。
拓扑思维是应对和转换思维，与感性思维、抽象思维三足鼎立，共同形成协调统一和网络状的高度自洽的思维体系。我的四色定理证明就是在感性思维、抽象思维和拓扑思维三者之间的腾挪中得到的。当代各个领域重大问题的研究和解决，都离不开拓扑思维。在认识论中，感性思维是源头，抽象思维是升华，拓扑思维是应对。把拓扑思维从感性思维和抽象思维中分离出来，进行重组，作为相对集中和独立的三角形的一极来研究，是认识论的时代觉醒。
关键图：
始证图（5轮图）

这个图是已知的由6个固定区域直接相邻的最小图。其外是未知的无际四色海洋。图中A、B、C、D为四色，V为待填色区。二色线路均可通过V区。
四色不可解线路发生图

图中出现了A—C环与A—D环的交叉。破解交叉问题是能否使5轮图沿变为3色，而将另一色填入V区的关键问题。四色不可解线路与四色不可解图是两个概念。
终极图（四色不可解线路集合）

这个图的覆盖面可能较小，也可能充分大。5轮图外两点之间的二色线路均可表为多点线路，连接着n个区域。图外的A是无限区域中的一个隐区，与图外圈的5个顶点（区域）均有二色隐线相连。
四色定理得证图

在终极图的证明过程中，图外的相应隐点由A色改为B色。
关键证文：依据海岛理论，从始证图（5轮图）开始，严格按照反求思路构建四色不可解线路集合的终极图。即:在由A—C和A—D交叉环所形成的四色不可解线路发生图中，不使形成新的A—C环、A—D环和A—B环、C—D环、B—C环、B—D环（包括了A、B、C、D四色可以形成的全部6个二色环），以及可以同时（前后步）改变5轮图沿的两个B色点填色的B—C、B—D线路，即肯泊（Kempe）已经证明了的K构形。最后，使图的外圈成为5点3色，还要与图外的填四色之一的隐点，通过隐线连接形成统一的四色演绎网络，从而使无止境的外向证明转换为有限而又具有普遍和终极价值的图内证明。这样，只要在图内证明了4可着色，四色定理就在普遍和终极的意义上被证明了。现在我们做到了这一点。在构图中，最终得到了外圈为DCDCB 5点3色、图外隐点为A色终极图。证明的步骤：第一步，开门引“妖”，在与A—D环交叉的A—C环内进行B与D二色互换，移开5轮沿左边的B。第二步，迎“妖”入室，在新形成的B—C环外进行A与D二色互换，使5轮图沿的D点改为A色。第三步，关门擒“妖”，在新形成的A—C环外再次进行B与D二色互换，使B色回到5轮图沿的原来位置，将门关闭。这时5轮图沿为ABACB三色，图外圈为ACACD 5点3色。终极图外原为A色的隐点在联动中改为B色。图内外四色协调平衡。至此，已天网无漏，证明无误，最后将D色稳稳地填入待填色区V。四色定理终于得证。

四色月亮再次升上心头
1992年我按照四色不可解的反求思路，运用演绎筛法，依顺时针方向不断转移双夹区（当时我称为交叉并蒂区），经过20步大演绎，终于得到了四色不可解线路集合的终极图。在图内形成的A—B环中，经C与D二色互换，最后将四色中的一色B填入初始的5轮图的待填色区，使四色定理得到了第一个证明，破解了一百多年来困扰世界数学界的这道难题。20多年过去了，2016年研究四色问题30余年的雷明先生，再次认真地研究了我的证明，并对其中的20步演绎重新经历和检验了一遍，终于在8月间连续在中国博士网上发表了5篇文章，首次勇敢无私地公开站了出来，论证这个证明是成立的，给予了高度评价和某些建议。（此前也曾有研究者实际上肯定了这个证明，把证明图整个嵌入他们的证明中，作为他们证明了肯泊（Kempe）证明的漏证项的形式公开发表。境界高低立判。）由此，沉落已久的四色月亮再次升上心头。在同雷明先生的探讨中，我萌生了用反求思路直接构图，再做一个证明的念头（过去我对直接构图证明是有疑虑的，觉得很难跨越“四色陷阱”和走出“构图迷宫”），使这个证明同1992年用演绎筛法成图所得到的证明成为互相印证的姊妹篇。更重要的是，我想借此再做证明的机会进一步形成完整的四色定理证明的理论体系，回答在四色证明中需要回答的一些问题和表达一些想法看法，特别是简论拓扑思维。于是不顾老病之躯，夜夜两点，奋战数月终成此文。这篇文章用于直接证明的篇幅并不多，很大一部分是回答问题。其整体形态就像一只孔雀。拓扑思维就是在回答最后一个问题中论及的。

构建理论体系，再证四色定理
要证明四色定理这样一个顶尖级的世界数学难题，经过一个多世纪全球数学家们和广大爱好者的共同探索，从发现5轮图开始，已经走出了“洪荒时代”。时至今日，一定要形成一个包括有理论、方法、思路和构图在内的完整的证明体系。这个体系，我认为由海岛理论、调节方法、反求思路和构建终极图（四色不可解线路集合）四者融合组成，总称海岛理论。现分别简要论述于下：
（一）海岛理论
海岛理论，就是形象化的证明四色问题的理论。证明四色定理的实质，从哲学观点看，是一个“平衡—打破平衡—再平衡”的问题。其工程形态，就是在无际的平面上用海岛理论、可控调节、反求思路、四色不可解线路集合构成的系统调控工程。证明四色定理，说到底，就是解决这个问题。为什么？形象地说，四色海洋中各种未知区域之间原本已是平衡态，由于在海洋中出现了一个已知的5轮形小岛（5轮沿的5个区域填有4色，其中包围着一个新增加的待填色区），打破了原有的平衡。要达到新的再平衡，就必须要设法在5轮岛同海洋隐形二色线路网络的联系中，经过可控调节能使5轮图沿的5区4色变成3色，而将另一色填入待填色区。证明四色定理，这是必须解决的不可回避和逾越的问题（从平面图的欧拉公式中，我们确切知道这一点）。任何四色问题的证明，避开或逾越了这个问题都是不成立的。上述5轮图的发现，既为四色证明找到一个战略突破口，同时也给任何四色证明展示了一条必经之路（宣称证明了四色定理，可以不经过这条必经之路，那就请他来实际破解这个图形作为验证。1976年借助电子计算机的证明结论，说“最小五色图不存在，所以四色定理成立。”倘5轮图不能破解，不就是最小的五色图吗？）。如果我们能使已知的5轮图海岛能同四色海洋从不平衡达到了新的平衡，那就无需再作任何证明就可以直接登上数学归纳法的列车，自然而然臻于无止境的四可着色之域，把无数次的平衡—不平衡—再平衡叠加为一次性的了。
四色问题的提出是从绘图填色引发的，但如何证明，首先需要有个证境上的转换。因为每张地图都是具体的、固定的、区域数有限的，命题是建立在无数张地图的叠加上。这就使得证境不佳，而且容易产生误导。因此，首先要形成一个统一的开阔大视野，摆脱对各种具体的区域图直接填色问题的研究。在感性认识上先要有一个升华，进而在理性认识上能够融汇贯通。这样，才能把宏观、中观和微观统一起来，从而形成证明的路线和方法，然后再动手证明。这就是海岛理论在证境上的由来及其在四色定理证明过程中所起的作用。凡物、凡事、凡思都有一个“境”。“境”是非常重要的。海岛理论，就是把已知的5轮图转换为一个小岛，其他所有图形中的区域和相邻关系统统转换为未知的、以各种二色隐线网络相连接的海洋（称为四色海洋）。因此，这是海岛理论在“证境”上转换的依据。
现在，我们是站在一个海岛上。岛上共有6个区域，其中已分别填有A、B、C、D四色的5个区域包围着一个待填色区（形同一个五轮图）。由于海岛与渺无际涯的大海相连，大海是由无数个未知区域构成的，并且都已填有4色。能不能和怎样才能在任何情况下都能将四色中的一色填入岛上的待填色区呢？
证明四色猜想，最终必须是也只能是在任何情况下都能将5轮图沿的4色改变为3色，最后将另一色填入待填色区。这种改变，只能同隐藏在岛外四色海洋中未知的四色线路网络统一起来，在获得相关的全息认识后才能协调一致，在可控的调节中有序进行。对此，我们可以把它再次拓扑转换到纸上的构图中进行这样的证明。5轮图外的线路，其实就是四色海洋中二色隐线和节点的显化。
（二）可控调节
四色猜想可证，其学理在于可控调节，即在二色环中或环外进行另二色的互换。否则，四色定理是不成立的，更无法证明。而所有调节都必须使5轮图同四色海洋中的隐性线路网络连为一体，才能进行。构图过程，就是使四色海洋中的有关二色隐线及其节点逐一显化的过程。证明过程，也是与图外的有关隐点和隐线联动的，受到图外四色海洋的宏观监控。
（三）反求思路
证明四色定理面对的是无穷的区域，只有反求思路才能抵达证明的彼岸。因此，反求思路是四色证明的求证思路，在直接构图中自然也就是构图思路。不是反求思路构出的图不具有彻底性，因而不可能是终极证明的图，得到的证明当然不是具有普遍意义的终极证明。（不是在一图中求证的其他终极证明，另论。）走反求思路求证明，其特点和功能是：第一，从实质上说，它走的是终极路线，直接追求的就是终极证明。第二，无论是演绎成图还是直接构图，每一步线路都面临着两种选择：四色可解线路和不可解线路。取四色可解线路得到的证明，不可能是终极证明。第三，在选择四色不可解线路的过程中，实际上同时把局部可证的图分别一一筛除了，不断缩小了尚不可证明的范围，便于最后集中证明。第四，在这个过程中，原来尚处于未知态的而又为证明所必需的四色隐线，逐渐显现了出来，最后成为显线的图，提供了最终证明时的线路依据。其中原来作为四色不可解线路的部分线段在最后证明过程中也形成了新的线路组合，转变为新的四色可证线路的组成部分，使在终极图中取得最终的四色定理证明。
（四）终极图（四色不可解线路集合）
直接构图证明四色定理，首先是严格按照反求思路，构建四色不可解线路集合的终极图，然后再在图中进行证明。
在渺无际涯的四色海洋中，终极图是一个从较小到相对充分大的图。其外沿是四色证明从外向拓展转为内向证明的“回归线”。只有在终极图内证明了四色定理成立，这个证明才具有普遍和终极意义。终极图即四色定理可证图。四色可解与四色定理可证是两个概念。
基准终极图的基本特征是：
（1）它的内在结构一定是全部由四色不可解线路构成的，否则无效。我们知道，A、B、C、D四色共可形成A—C、A—D、B—C、B—D、A—B、C—D共6个二色环。所有的换色有效调节都只能在环内或环外进行。在没有交叉环的图形中，其四色可解，肯泊（Kempe）早已证明了。在前述5轮图沿已填有4色的既定情况下，只有A—C环同A—D环的交叉图形这道难关需要攻克。构建四色不可解线路的终极图，首先要从构建A—C与A—D两环交叉图开始，作为四色不可解线路发生图。然后在构图过程中，全部线路都是排除出现新的A—C环、A—D环、A—B环、C—D环、B—C环、B—D环，以及能够同时（前后脚）移走5轮图沿两个B的线路的。所有这些线路就是四色不可解线路，不能少一条线，不能多一条线，也不能空一条线。这样的线路组成的图就是四色不可解线路集合，就是终极图。
（2）要使四色定理得证，其基准图的外圈所呈现的必定是与其内的5轮图沿5点4色相对应的5点3色。本来，证明四色定理最直接的要求是在5轮图沿能4色变为3色，显然这是不可能的，只能通过四色不可解线路在所构图的外圈先期获得。即：倘能使5轮图沿所要达到的5点3色的诉求，已经先期在终极图的外圈得到，那么，经过图内的回证，可使四色定理得到证明。因此，两者在间接上是等价的。如果是5点4色，那就循环回到了5轮图沿，除了在回证结束时能成为5点3色者外，说明四色不可证，或者构图不成功。
（3）在原来5轮图沿5点4色的情况下，四外的四色海洋中不可能有任何一个隐点能同时有二色隐线能与5轮图沿的5个点相连接（因隐点本身已具有四色中的一色），而在基准终极图中就一定有一个填第四色的隐点可以同时与终极图外圈呈3色的5个顶点通过二色隐线相连接，与终极图共同形成一个统一的网络整体，参予和制约着其后四色证明的全过程，确保和确认证明是正确的。
下面我们就先来构建终极图。
初始图仍用5区4色围绕着待填色区的5轮图。这个图是前人根据欧拉（Euler）的平面图的欧拉公式得出的，使四色问题的证明走出了“洪荒时代”，找到了宝贵的突破口。（见图1）

构图的步骤和过程如下：

第一步：以A为公共点使A—C环和A—D环（均通过V区）形成交叉环。这是最初和最基本的两条四色不可解线路。（见图2）两环多次交叉，是与其等价的复式图，构图过程与证明过程亦同，可略弃。  
交叉环是四色不可解的关键，四色证明的攻防战实际上就是围绕这个构形展开的。本图没有直接采用赫渥德（Heawood）图，因其原图有C—D环，是不充分的四色可解图。
第二步：在上图内，为使四色不可解，必须：
①连接图中两侧的B—D和B—C，不使形成新的互不交叉的A—C环和A—D环，即：不使形成可以改变5轮沿两个B色点填色的四色可解图。②连接上侧的C—D线，不使形成A—B环。③连接下侧A—B线，不使形成C—D环。（见图3）

第三步：从图3外的左侧连接A、B各顶点，右侧连接C、D各顶点，共同形成A—B与C—D皆不能成为环形而只能互相交错的图。（见图4）

第四步：在图左方，为不使形成肯泊（Kempe）早已证明的可以同时移去5轮沿两侧B点的K构形图左侧线路，需连接1C—2B—3C线路。（见图5）

第五步：在图左方，为阻断1B与1C连接形成B—C环，致使环中A点换为D色后形成C—D环，导致全图四色可解，需连接2A—2D线路。（见图6）

第六步：在图右方，为不使形成可以改换5轮图沿的两个B色点的填色线路，首先连接1D—1B—2D线。其次，为了不使2B连接2D可使在新形成的B—D环中A色换成C色，进而在形成C—D环中使B换成A色，从而形成肯泊的K构形图（即可改变5轮图沿两个B点的填色）在全图右侧的四色可解线路，需连接2C与2A线路。再次，还要在右侧连接2A—1B—C线路，阻断其间形成新的C—D环或A—D环改变1B的填色，确保在全图中不形成右侧的肯泊的K构形图，导致四色可解。（见图7）

至此，按照四色不可解线路构图的工程已面临结束。其中没有一条线是任意的或可有可无的，在任何两点之间也没有尚未连接的线。除了初始的A—C与A—D交叉环，在构图过程中所面临的全部6种二色环路全部阻断，不可同时（前后脚）移去5轮图沿两个B的线路也已经形成。显然和当然是一个终极图无疑了，无需也无法再进行下去。在其外再继续形成A—B与C—D的互围或形成A—B环和C—D环，已经没有任何意义了。但是，了又未了。由于外圈呈现的6点4色，还未能与5轮沿的5点相对应，只能称其为非基准终极图。6点4色就包含着5点3色，是四色可解的。现在与此前构图时情况不同，终极图已经形成，我们开始有了合理选择线路的自由，本来可以在图外增补一条遮住一个单色点的线，使图成为5点3色的基准终极图。但是经仔细观察，图7尚不牢固。因为如果在图7的左外侧连接一条新的A—C线，可以形成A—C线环，使B改为D色，导致图中C—D环连通。因此还需：
第七步：在图7外左上侧连接1B—2D线。这样既巩固了终极图，同时也直接使图成为DCDCB 5点3色的基准终极图了。（见图8）

下面，我们就在图8外圈为DCDCB的5点3色的终极图中，开始破解A—C和A—D交叉环，对四色定理进行直接证明。构图过程，同时是使原来的某些隐线逐步显现的过程。仔细观察图内的二色线路，令人惊喜地发现：在原有A—C和A—D交叉环中分别经过B与D或B与C二色交换后，竟然可以与环外的B—C线路或B—D线路形成新的B—C环或B—D环，由原来的“山穷水尽疑无路”转化为“柳暗花明又一村”了。“穷则变，变则通”啊！这样，我们就可以使原来牢不可破的A—C和A—D交叉环被破解，把四色雄关攻破。如何破解?无妨形象的把它称为“擒妖三步曲”。实际证明如下：
第一步：开门引“妖”。在A—C环中，1D与1B交换（开门），形成新的B—C环。（见图9）
第二步：迎“妖”入室。在新形成的B—C环外，2A与2D进行交换（2A进入5轮图沿2D的位置），形成新的A—C环。图外填A色的隐点换为D色。（见图10）


第三步：关门擒“妖”。在新形成的A—C环外，再次进行3B与3D二色互换，使B回归到原来在5轮沿的位置（关门），则使5轮图沿成为ABACB 3色，图外填D色的隐点换为B色。（见图11）



至此，图中的5轮图沿已呈现ABACB 5点3色，图外圈为ACACD 5点3色。图外四色海洋中通过隐线连接的隐点为B色。5轮图海岛中的待填色区与四色海洋已取得了完全的四色平衡。于是，我们最后将D色填入5轮图中的待填色区V。四色定理终于得证。（见图12）


外圈为6点4色的非基准终极图，本身就是四色可证图。其直接证明步骤与上述证明相同（如移动B—C起证，则需4步）。
用四色不可解线路构建的图为什么会变成可解的呢？从线路上说，在构图过程中，原来作为四色不可解线路的部分线段，在证明过程中形成了新的线路组合。从学理上说，这就是转换之功了。启动B—C或B—D这两个小小的“旋钮”，5轮图沿的双B夹A区就转换了，原来的A—D与A—C两个交叉环就被打开缺口，在其后新的情况下，原有的四色不可解线路中就有一部分重新组成了新的四色可证线路。这就是图中四色可解的奥秘。

（未完，接下贴）

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