直接用地图来证明四色猜测（完善稿）

雷明85639720

直接用地图来证明四色猜测（完善稿）
雷  明
（二○一七年四月七日）

地图就是一个无割边的3—正则的平面图，其中的每一个顶点都连着三条边，这就是“三界点”，其附近区域就是平常所说的所谓的“三不管地区”。
1880年泰特曾猜想：任何无割边的3—正则平面图的可3—边着色与其可4—面着色是等价的。几乎所有的文献上都说泰特当年已经证明其猜想是正确的，但却没有看到泰特的原始证明。文献上只看到有邦迪、韦斯特与徐俊杰的证明，但都叫人看了后并不明白，也不好理解。如果说泰特的猜想是正确的，那么只要能证明任何无割边的3—正则平面图是可3—边着色的，也就证明了地图四色猜测是正确的。又因为给地图的面上的着色，就是对其对偶图——极大平面图——的顶点着色，从而也就说明了任何极大平面图的顶点着色数也是不大于4的；再进一步，因为对极大平面图通过“去点”和“减边”运算，所得到的任意平面图的色数只会减少，而不会增大，所以也就可以证明任意平面图的顶点着色数也是不会大于4的。从而也就最终证明了四色猜测是正确的。本文作者也想试证一下。
1、泰特猜想的证明
1、1  可3—边着色的无割边的3—正则平面图一定是可4—面着色的
1、1、1  颜色叠加的原理
要证明可3—边着色的无割边的3—正则平面图是可4—面着色的，必须要用到颜色叠加的原理。所以首先介绍颜色叠加的原理如下：


图1，a是一个由两个园一部分相互重叠后所得的图，图2，a是由一个园和一个月牙形图相邻后所得的图，他们都把画图的面分成了若干部分。若把构成各图的两个图分开画，它们同样也把画图的面至少分成了两部分（如图1，b和c，图2，b和c），若给每一部分各染上一种颜色（如A和B，C和D），然后再把两个各染了两种颜色的图重叠起来，就可以得到四种新的颜色，图中的各个面都有一种新颜色（如图1，d和图2，d），但所占用颜色总数是不超过新产生的四种颜色的。
这里虽然在叠加前是四种颜色，但却没有出现三种颜色相叠加的情况，也没有出现A与B，C与D相叠加的情况，所以最多也只能产生AC，AD，BC和BD这四种新的颜色。
    1、1、2  可3—边着色的无割边的3—正则平面图也可以用颜色叠加法进行面着色
把可3—边着色的无割边的3—正则平面图的某种颜色（比如3）的所有边都去掉后，剩下的就是若干个（包括一个）圈，并把画图的面分成了比圈的数目多1的若干个部分，给每一个部分相间的着以不同的两种颜色（比如A和B）；然后再把另一种颜色（比如2）的所有边去掉，再给被另外的若干个圈所分成的各部分相间的着以另外两种不同颜色（比如C和D）；把两张图重叠起来后，就得到原来可3—边着色的无割边的3—正则平面图的各个面分别着有不同颜色的图，图中的颜色总数也不会多于新产生的四种颜色。如图3所示。

图3是一个有三个国家的海岛的地图，其中a是原来3—边着色的地图，b是去掉着有颜色3的边以后的图，其各部分分别着A和B二色，c是去掉了着有颜色2的边以后的图，其各部分分别着C和D二色，d是着了四种新颜色的地图。
1、1、3  颜色叠加原理的理论分析
地图的顶点都是三界点，都只连接着三条边（如图4），分别着以1，2，3三种颜色（如图4，a），每两条边之间所夹的区域用一种颜色当然是可以的，可以把1—2两种色边所夹的面用Ⅰ表示，把2—3两种色边所夹的面用 Ⅱ 表示，把1—3两种色边所夹的面用 Ⅲ 表示，只三种颜色。但作为一个面，其边界一定是一个圈。若是偶圈，该面边界上只有两种颜色的边，该面可以着上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 中的某一种颜色即可；但若是奇圈，该面边界一定是由三种颜色的边构成的。这种情况，该面就不能用Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 中的任何一种，而只能用第四种颜色 Ⅳ（如图4，b）。这就是可3—边着色的无割边的3—正则平面图面着色时，可能会用到四种颜色的原因。
若把由两种颜色的边所夹的区域的颜色用两种颜色的交集表示，则由三种颜色的边所夹的区域的颜色就是三种颜色的交集。则有1∩2＝Ⅰ，2∩3＝Ⅱ，1∩3＝Ⅲ 和1∩2∩3＝Ⅳ。这也就是给任何可3—边着色的无割边的3—正则平面图（地图）的面染色时，至少要准备四种颜色的原因。


边色数是3，分别是1（红），2（黄），3（兰），利用画家调色的原理，这三种源色重叠的结果也只可能产生四种新的颜色（如图5）。图中共有七种颜色，其中1（红），2（黄），3（兰）三种源颜色仍是着在边上的颜色，而新产生的12（橙），13（紫），23（绿），123（黑）四种颜色则就是面上应着的四种颜色。
这就证明了可3—边着色的无割边的3—正则平面图一定是可4—面着色的。
1、2、 可4—面着色的无割边的3—正则平面图也一定是可3—边着色的

设可4—面着色的3—正则图（地图）所用的四种颜色分别是A（红），B（兰），C（黄）和D（绿）（如图6）。着A（红）和B（兰）二色的两个图家的边界线（图中加粗的边），不但不可能与着C（黄）和D（绿）二色的两个国家的边界线（图中带小园圈的边）是同一条边，而且也绝对是不会相邻的。这样的两种边界线着同一颜色完全是可以的。四种颜色两两相邻的六种相邻情况的边界分别是由A与B，A与C，A与D，B与C，B与D和C与D构成的。其中A—B的红—兰边界和C—D的黄—绿边界可以用同一种颜色，A—C红—黄边界和B—D兰—绿边界也可以用同一种颜色，A—D红—绿边界和B—C兰—黄边界也可以用同一种颜色，共计只有这三对。
我们分别用1，2，3表示三种颜色的边：把由红（A）兰（B）二色和由黄（C）绿（D）二色构成的边都用“1”表示，把由红（A）黄（C）二色和由兰（B）绿（D）二色构成的边都用“2”表示，把由红（A）绿（D）二色和由兰（B）黄（C）二色构成的边都用“3”表示，就可得到任何一个可4—面着色的3—正则平面图的3—边着色。如图7的3—楞柱和图8的正6—面体，他们的面色数分别是4和3，其边色数却都是3。


到此就证明了可4—面着色的无割边的3—正则平面图也一定是可3—边着色的。

到此，也就证明了泰特的猜想：无割边的3—正则平面图的可3—边着色等价于其可4—面着色。泰特的猜想是正确的。
现在最重要的问题是：只要能证明任何无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的，就可证明地图四色猜测和四色猜测是正确的。
2、 任何无割边的3—正则平面图都一定是可3—边着色的
2、1  证明方法（一）：
3—正则的平面图告诉我们，图中的每个顶点都连有3条边，那么该图的总边数就是e＝3v/2＝1.5v（e是边数，v是顶点数），即边数是顶点数的1.5倍。从这里可以看出，3—正则的平面图的顶点数必须是偶数，才能满满足图的边数是整数的要求。
又因为无割边的3—正则的平面图中有e＝∑efi/2＝（ef1＋ef2＋……＋efn）/2的关系，从这里还可以看出，无割的3—正则的平面图的面中，若有奇数边的面时，则奇数边面的总数必须是偶数，只有这样也才能满足图的边数是整数的要求。
颜色叠加的原理还告诉我们，要进行颜色叠加至少要把无割边的3—正则平面图划分成若干个（包括一个）偶圈。“3—正则平面图的顶点数都是偶数”和“3—正则平面图中奇数边面的总数是偶数”这两点，就保证了无割边的3—正则平面图至少是可以划分为一个偶圈的；“无割边”这一点也保证了从图的任一顶点出发，到达任一顶点后，再返回到原出发顶点时，也不会再走重复线路。也就可以保证无割边的3—正则平面图（地图）是一定可以划分成两条以上的若干偶圈的。
每个偶圈就是一条边2—色圈（回路），偶圈在边着色时，只用两种颜色就够了。图中所剩余的边的两端，也都是只与边2—色圈上的、已连接着着有两种颜色的边相邻，且这些边相互间均不相邻，所以给它们全部着上第三种颜色是完全可以的。图9就是一个无割边的3—正则平面图可3—边着色的例子。

这就证明了任何无割边的3—正则平面图一定是可以3—边着色的。
2、2        证明方法（二）：

边着色就是对原图的线图的顶点着色。所谓线图就是把原图的边作为顶点，按原图中边与边的相邻关系作新的边，所得到的新图，就是原图的线图（也叫边图）。如图10。
3—正则平面图中各顶点的度均是3，所以其线图中的最大团的顶点数最大也只能是3（即线图的密度是3），着色时至少也要3种颜色。
3—正则平面图中各面的边数都是大于等于3的多边形的面，这些多边形面在其线图中也都是以边数大于等于3的圈（面）出现的（如图11）。圈在顶点着色时，色数也一定是不大于3的。所以该线图的色数也一定不会大于3。

3—正则平面图中各边的两端均共连有四条边，表现在其线图中就是各顶点的度均是4，该线图是一个4—正则图（如图10，请注意：这里的4—正则图并不是任意的，而是指无割边的3—正则图的线图这一类4—正则图）。线图的各顶点四周是四个边数大于等于3的面，所以图中不可能含有轮，更不会有轮沿数大于等于3的奇轮。唯有正四面体的线图所有的顶点都是一个4—轮的中必顶点（如图12），而4—轮的色数只能是3。没有3—轮以上的奇轮，所以该线图的色数也不可能大于3。
综合以上三点，也就证明了任何3—正则平面图一定是可3—边着色的。当然任何无割边的3—正则平面图也就一定是可3—边着色的。
3、四色猜测的证明
我们已经证明了泰特的猜想：“无割边的3—正则平面图的可3—边着色等价于其可4—面着色”是正确的。现在又证明了每一个无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的。当然也就证明了任何无割边的3—正则平面图（地图）都是可4—面着色的，即证明了地图四色猜测是正确的。地图四色猜测是正确，则其对偶图——极大图平面图的顶点着色的色数也一定是小于等于4的，进而由极大图平面图经减边和去点得到的任意平面图的色数也一定是不会大于4的，平面图的四色猜测也是正确的。到此也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○一七年四月七日于长安
   
注：此文已于二○一七年四月八日在《中国博士网》上发表过，网址是：
   

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