数论小猜想

cz1

请 Treenewbee 计算，MultiplicativeOrder[10, (2*10^10 - 59)/3 ]，谢谢！

cz1

Treenewbee 解答了 \(x^3+y^6=z^{10}\) ，

朱先生能解不定方程 \(x^6+y^{12}=z^{20}\) 吗？

朱明君

\(x^6+y^{12}=z^{20}\)
解:原方程是\(2^3+2^3=2^4\)
\(则\left( 2\times2^{36}\right)^6+\left( 2\times2^{18}\right)^{12}=\left( 2^{10}\right)^{20}\)

朱明君

\(x^2+y^2=z^5\)
\(解：原方程是5^2+12^2=13^2\)   
\(\left( 5\times13^4\right)^2+\left( 12\times13^4\right)^2=\left( 13^2\right)^5\)

lusishun

朱明君 发表于 2024-1-19 13:01
\(x^2+y^2=z^5\)
\(解：原方程是5^2+12^2=13^2\)   
\(\left( 5\times13^4\right)^2+\left( 12\times13^4 ...

更小的解：
X=4,
y=4,
Z=2,

4^2+4^2=2^5.

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-20 03:24
更小的解：
X=4,
y=4,

两边同乘以2^20.
得，
（2·2^5)^4+(2·2^5)^4=(2·2^4)^5,
X=64^4=2^24
Y=64^4=2^24,
Z=32=2^5

lusishun

lusishun 发表于 2024-1-20 03:24
更小的解：
X=4,
y=4,

两边可以同乘以3^10,
(4·3^5)^2+(4·3^5)^2=(2·3^2)^5.

朱明君

\(x^2+y^2=z^5\)
\(解：原方程是1^1+1^1=2^1\)
\(则\left( 1\times2^2\right)^2+\left( 1\times2^2\right)^2=2^5\)

朱明君

\(x^5+y^2=z^2\)
\(解：原方程是\left( 2+1\right)^1-\left( 2-1\right)^1=2^1\)
\(则\left( 3^3\right)^5+\left( 1\times3^7\right)^2=\left( 2\times3^7\right)^2\)

cz1

求证：\(2^n=a^r -b^t\) 均有解，

\(2^1=3^3 -5^2\)

\(2^2=5^3 -11^2\)

\(2^3=3^2 -1^5\)

\(2^4=5^2 -3^2\)

\(2^5=6^2 -2^2\)

\(2^6=10^2 -6^2\)