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艾拉托尼筛法是筛选出偶数哥猜的素数对的有效工具
艾拉托尼筛法（Eratosthenes）：x不能被≤√x 的所有素数整除即为素数。这是目前判断素数的最基本有效的方法。
因此，运用艾氏筛法，我们可以筛选出 x 以下所有的素数。
其中筛选出来的素数分为2个部分：
1. 不能被≤√x 的所有素数整除，也就是除以≤√x 的所有素数时余数都不等于0的数—— 能够筛选出在（√x,x ]之间的全部素数。
2. 能被≤√x 的某个素数整除，商等于1 —— 即作为筛子的≤√x 的所有素数本身。
全部x内的素数数量，就是这两个部分之和。
（偶数）哥德巴赫猜想：任意大于5的偶数，能够表为两个奇素数之和。
在这个问题证明的探讨方案上同样可以使用艾拉托尼筛法筛选出任意偶数2A的素数对。
偶数2A (M=2A)表为两个整数可以用 p+(M-p)形式，由于最小奇素数是3，因此最大余项 (M-p)是(M-3)。
因此使用艾拉托尼筛法用≤√(M-2)的全部素数（其中最大为r，下同）即可筛选出可能组成素数对的全部素数。
但是这样并不能仅仅筛选出与偶数2A 的素对有关联的素数。往往需要对筛选得到A内的全部奇素数p后再对M-p用≤√(M-2)的全部素数一一再次进行筛选，也就是通常称之谓“二次筛”的得到偶数全部素对的方法。
“二次筛”这种方法实际上就是重复筛选，由于不能确定小区的素数p中哪些素数能够符合组成偶数素对的要求，就是没有在有用的素数p与偶数2A之间建立合适的关联，只能实验性的对小半区的素数p与偶数M的差（M-p）再次用≤√(M-2)的全部素数一一进行筛选，以得到能够素数对。
在大偶数时在理论上对（M-p）的素数与否的判断尤其变得困难，以致数论家不得不生造了一个概念模糊的名字“殆素数”来表达 M-p。
事实上，“殆素数”的概念已经离开了哥猜的原意：一个偶数表为两个素数和。
如何使用艾拉托尼筛法，得到偶数2A 的素对有关联的素数呢？
这就要把偶数2A (M=2A)表为两个整数的形式做个改变：M=(A-x)+(A+x) 。
于是我们使用艾拉托尼筛法来筛选偶数2A的素对就可以从原来的筛选 M-2 以下的全部素数转变成筛选A-x与A+x两个数不能被≤√(M-2)的全部素数整除的的方式。
由于A是所给偶数2A的半值，是已知值，由此实际上就是要在x值的取值区间[0,A-3]中筛掉能够与A组成的A-x及A+x能够被组成≤√(M-2)的全部素数整除的数x'。那么在[0,A-3]中筛余的数x必然能够与A构成素对A±x，这样筛选素对的条件与具体的偶数2A建立了紧密的关联。
判断x所构成的A-x与A+x 是否成为素对，可以归纳为如下2个情况：
条件a ：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，成为素数对；这是偶数表为两个素数和的主要部分；是能够用连乘式进行近似计算的；
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数也都是素数；（相当于素数筛选中作为筛子的≤√x 的素数部分）这部分的素数对数量缺乏计算条件，其数量相对于条件a的素对数量，随偶数M的增大，最大占比会越来越小。
例：
小偶数时，素对中既有S2(m)= 0、也有S2(m)= S1(m)的偶数；
A= 15 ,x= : 2 , 4 , 8 ,
S( 30 )= 3 S1(m)= 3 S2(m)= 0 Sp(m)≈ 3.5 δ(m)≈ .1556 K(m)= 2.6667
A= 16 ,x= : 3 ,( 13 ),
S( 32 )= 2 S1(m)= 1 S2(m)= 1 Sp(m)≈ 1.4 δ(m)≈-.3 K(m)= 1
A= 17 ,x= : 0 , 6 ,( 12 ),( 14 ),
S( 34 )= 4 S1(m)= 2 S2(m)= 2 Sp(m)≈ 1.5 δ(m)≈-.625 K(m)= 1
稍大一些偶数18000到20000之间，既有s2= 0的偶数，也有s2接近20的偶数：
M= 18908 S(m)= 161 S1(m)= 161 Sp(m)= 163.04 δ(m)= 1.267617E-02 K= 1.037037
M= 19500 S(m)= 480 S1(m)= 462 s2= 18 Sp(m)= 464.8972 K= 2.909091
M= 19530 S(m)= 537 S1(m)= 518 s2= 19 Sp(m)= 529.8351 K= 3.310345
而更大一些偶数，仍然有s2= 0的偶数存在：
M= 43532 S(m)= 298 S1(m)= 298 s2= 0 Sp(m)= 310.4073 K= 1
M= 63274 S(m)= 441 S1(m)= 441 Sp(m)= 448.9532 δ(m)= 1.803437E-02 K= 1.066667 r= 251
从上面的例子中可见，条件b所对应的偶数素数对的数量不具有计算性。
若把偶数2A的符合条件a的x值数量记作S1(m）,符合条件b的x值数量记作S2(m）,那么偶数M的全部素对数量S(m)，有
S(m)=S1(m）+S2(m）. ------- {式1｝
怎么样筛选符合条件a ：A-x与A+x成为素数对的x值呢？（不考虑符合条件b的x值的筛选）
显然要使得A-x与A+x 都不能够被≤r的所有素数整除，那么x与A值除以这些素数的余数之间必然有对应的关系：
把A除以素数2，3，…,n,…，r时的余数记为j2,j3,…，jn,…，jr，那么
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于j2,j3,…，jr中的某个值时，那么A-x必然能够被该值所对应的素数整除；
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于A除以某个素数n余数的补数(n-jn)时，那么A+x必然能够被该素数n整除。
因此，当x值除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的数，必然能够与A构成偶数的素对A±x;
（j2,j3,…，jr系A除以素数2，3，…，r时的余数。）
因为余数周期变化的数列中排除了部分余数后必然会余下其它的余数的x值，而与A构成素对 A±x。
由于在自然数列中的数，除以任意一个素数时的余数都是以该素数值的周期而循环变化的，除以任意二个素数j,k时的余数变化是分别独立的，即
除以素数j余数等于ji的数的发生概率为1/j; (ji=0,1,2,3,…，j-1;)
除以素数k时余数等于ki的数的发生概率为1/k;(ki=0,1,2,3,…，k-1;)
同时满足除以素数j,k时的余数等于ji,ki的数发生概率为p(j,k)=1/j *1/k ;即符合概率的乘法定理，并且此乘法定理能够推广到有限的事件中。
因此依据概率的独立事件的乘法定理的推广，符合条件a：
除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值的分布概率P(m) 有
P(m)=P(2•3•…•n•…*r)
=P(2)P(3)…P(n)…P(r) . -----------{式2}
故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2•3•…•n•…•r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。
在小偶数区域，素对计算值Sp(m)与实际上偶数素对中符合条件a的素对数量S1(m)值的大小、变化规律是相当接近的。
偶数M分成的素对S(m)中的满足条件a 的素对数量S1(m)以及素对概率计算值Sp(m)的图形的对照实例：
随着偶数M的增大，≤√(M-2)的全部素数相应增多，筛选余下的数“不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的数”的概率缓慢下降，
但是同时随着偶数M的增大情况下的取值区间[0，A-3]内的自然数则跟随偶数同步增多，增多比例远远大于筛余数的发生概率的下降比例；这使得整体上偶数的素对数量无论低位数量还是高位峰值，都在不断的增多。
因此在自然数区间[0，A-3]内，用小于√(2A-2)的全部素数筛选，必有筛余数x,与偶数半值A构成素对{A±x}。
并且随着≤√(M-2)的最大素数r的增大，各个r所对应的偶数区域的偶数素数对数量的最小值则总体趋势是不断增大，即各个r所对应的偶数区域内偶数表为两个素数和下界数量基本呈现单调上升的规律。
总而言之，艾拉托尼筛法筛法是筛选出偶数2A的素数对A-x；A=x 的x值的有效武器。
举例：
偶数2A的素对A±x 的筛选实例：（括号内数值是满足条件b的x值）
A= 30 ,x= : 1 , 7 , 11 , 13 , 17 ,( 23 ),
M= 60 S(m)= 6 S1(m)= 5 Sp(m)≈ 5.333 δ(m)≈-.111 K(m)= 2.667 r= 7
* Sp( 60)=[( 60/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)≈ 5.333
A= 31 ,x= : 0 , 12 ,( 28 ),
M= 62 S(m)= 3 S1(m)= 2 Sp(m)≈ 2.071 δ(m)≈-.31 K(m)= 1 r= 7
* Sp( 62)=[( 62/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)≈ 2.071
A= 32 ,x= : 9 , 15 , 21 ,( 27 ),( 29 ),
M= 64 S(m)= 5 S1(m)= 3 Sp(m)≈ 2.143 δ(m)≈-.571 K(m)= 1 r= 7
* Sp( 64)=[( 64/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)≈ 2.143
A= 33 ,x= : 4 , 10 , 14 , 20 ,( 26 ),( 28 ),
M= 66 S(m)= 6 S1(m)= 4 Sp(m)≈ 4.429 δ(m)≈-.262 K(m)= 2 r= 7
* Sp( 66)=[( 66/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)≈ 4.429
A= 34 ,x= : 3 ,( 27 ),
M= 68 S(m)= 2 S1(m)= 1 Sp(m)≈ 2.286 δ(m)≈ .143 K(m)= 1 r= 7
* Sp( 68)=[( 68/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)≈ 2.286
A= 35 ,x= : 6 , 12 , 18 , 24 ,( 32 ),
M= 70 S(m)= 5 S1(m)= 4 Sp(m)≈ 3.771 δ(m)≈-.246 K(m)= 1.6 r= 7
* Sp( 70)=[( 70/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 6/ 7)≈ 3.771
略大一些的偶数：
A= 10000 ,x= : 69 , 93 , 99 ,…… 9843 ,( 9861 ),( 9891 ),( 9927 ),( 9963 ),( 9993 ),( 9997 ),
M= 20000 S(m)= 231 S1(m)= 225 Sp(m)≈ 218.543 δ(m)≈-.054 K(m)= 1.333 r= 139
A= 10001 ,x= : 60 , 78 , 150 , 162 ，…… ,( 9912 ),( 9918 ),( 9948 ),( 9960 ),( 9972 ),( 9978 ),( 9990 ),( 9996 ),
M= 20002 S(m)= 176 S1(m)= 167 Sp(m)≈ 167.463 δ(m)≈-.049 K(m)= 1.022 r= 139
A= 10002 ,x= : 35 , 101 , 131 , 191 , 221 , ……,( 9935 ),( 9959 ),( 9961 ),( 9971 ),( 9989 ),( 9991 ),( 9995 ),
M= 20004 S(m)= 337 S1(m)= 328 Sp(m)≈ 327.879 δ(m)≈-.027 K(m)= 2 r= 139
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发表于 2019-3-13 20:46
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