素数的来源与1-1定理

zengyong

我说：
”但是，我还是要提醒你：这个素数无穷的证明方法，欧拉早就使用过，没有什么新意了。”

我没有说你的证明和欧拉一样！仅仅是提醒你构思和欧拉大师相同。

如果说到证明中的文字和严谨逻辑性，就差得太远了。那能 相比呢？

费尔马1

我肯定的说，我的关于素数无限多的证明是对的，学生我有两种证明方法，都在本坛里，第一种是集合两分法，第二种是反证法。
请老师不要太崇拜欧拉，也不要太崇拜欧几里得，我可以肯定的说，欧几里得关于素数无限多的证明是不严谨的。
再说了，关于剩余定理的题，例如韩信点兵，经典的答案还不是最小解，最小解还是学生我解出的，也在本坛里，请问老师，您能说经典的东东都是正确的吗？

费尔马1

梁老师说:构思和欧拉大师相同。
既然老师说构思与欧拉的相同，为什么他的就严谨，学生我的就不严谨了呢？这个证明又不是长篇大论，难道在文字语法上会有无法相比？！
这样吧，请老师把欧拉的证明发在本坛，让大家都学习一下好吗？

zengyong

数论导引中有关欧拉的证明如下：

图1

zengyong

数论导引中有关欧拉的证明如下：图2

zengyong

图1发重了没办法删去，就这样吧。
图1中页提出了定理2；
定理2的证明在图2的文章前面。

我们的学习研究方法和观点相差太远，只能聊到此。大家继续保留自己的观点，继续各自的兴趣研究探讨吧。

费尔马1

实际上探索素数的有关知识，首先要弄明白整除与倍数，整除与倍数，说起来简单，其实数学界还是没有完全彻底的弄明白啊！

费尔马1

首页 数学研究 [欧拉数学]素数有无穷多个的两个证明
2
Oct
[欧拉数学]素数有无穷多个的两个证明
By 苏剑林 | 2011-10-02 | 28765位读者 | 打印 引用
素数是数的基本单元，就如同高楼大厦中的砖块一样。显然，素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然，数的研究就局限在有限个素数之内，那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头，就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明，其中一个是欧几里得的证明，这是最原始、最简单的证法，相信很多读者已经学习过了，在此还是要提一下；另外一个是我在《怎样解题》中看到的，原作者是欧拉，也是一个非常美妙的证明。当然，本文强调的思想，论证过程可能会有一些不严谨的地方，请读者完善^_^

一、欧几里得证明

这个证明思想非常简单：若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个，那么我们就把它们相乘，然后加上1，得到的将会是什么呢？如果是一个素数，那么将会与素数只有n个矛盾；如果是一个合数，它除以原来的n个素数都不是整数，那么它就会拥有新的素数因子了，这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况，只有素数有限，就会得出矛盾，于是素数必然是无限的。
二、欧拉经典

这个证明需要做一些准备工作。它的思想是：等比数列+生成函数。

首先，我们有公式S(p)=1+p−1+p−2+...+p−n=1−p−n−11−p−1S(p)=1+p−1+p−2+...+p−n=1−p−n−11−p−1，这是等比数列的求和公式，当|p|>1,n→∞|p|>1,n→∞时，p−n−1→0p−n−1→0我们有：
S(p)=∑n=0∞p−n=11−p−1=pp−1
S(p)=∑n=0∞p−n=11−p−1=pp−1
下面我们尝试将p遍取所有的素数，即2,3,5,7,...，并将各S(p)相乘，得到（记为K）：
K=S(2)⋅S(3)⋅S(5)...=(1+12+122+123...)(1+13+132+133...)(1+15+152+153...)...=22−1⋅33−1⋅55−1⋅...
K=S(2)⋅S(3)⋅S(5)...=(1+12+122+123...)(1+13+132+133...)(1+15+152+153...)...=22−1⋅33−1⋅55−1⋅...
K有什么特别的地方呢？注意到这里各素数的幂都相互乘了一次，这和自然数的产生是一样的：把若干个素数的幂相乘，就可以得到任意自然数。于是我们就可以（并非毫无根据地）写出：
K=1+12+13+14+15+...
K=1+12+13+14+15+...
根据我们知道级数1+12+13+14+15+...1+12+13+14+15+...是发散的，所以素数不可能只有有限个，因为K=22−1∗33−1∗55−1∗...K=22−1∗33−1∗55−1∗...，要是素数只有有限个的话，那么这个乘积必然也是有限的，这会导致矛盾。所以素数无限。

三、和素数定理的一丝联系

素数定理告诉我们，不大于n的素数的个数π(n)π(n)约等于nlnnnlnn。

费尔马1

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费尔马1

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