偶数M表为两个素数和数量（单记）的区域下界计算值infS(m)与实际验证

愚工688

ysr 发表于 2021-1-11 16:59
能计算16位的偶数的素数和对，已经不错了，我的程序很慢，估计16的偶数要十几个小时甚至一天。
要想计算更 ...

我计算一亿的偶数用时仅0.017秒，而计算G( 10^15 )需要约47.13 小时，近2天。

所以诸如Basic 之类程序很难筛选 10^10 以上的偶数的素对数量，即得出大偶数的素对真值。
因为近10^7的偶数需要30分钟，那么10^8次方的偶数就需要6~7小时，10^9次方的偶数就需要4~5天，10^10 以上的偶数就需要2个月左右了。

筛选时间记录：
  G( 10^8 ) = 291400;  ( 0.017  sec)
  G( 10^9 ) = 2274205  ( 0.193 sec)
  G( 10^10) = 18200488;   ( 2.539  sec)
  G( 10^11) = 149091160;  (38.146 sec)
  G( 10^12 ) = 1243722370 (625.098 sec)         
  G( 10^13 ) = 10533150855, ;(1090.54 sec)     
  G( 10^14 ) = 90350630388  ;(12740.44 sec ) ;   3.54小时；  
  G( 10^15 ) = 783538341852 ;(169664.44 sec)~ 就是约47.13 小时。  

ysr

对，大致是这样，我的程序计算10^8好象是3个小时。数量级一样，没啥优势可言。所以10^10以上的需要用到大整数的快速乘法除法程序，这样的话可能是能算到10^20，应该是可以的。

愚工688

ysr 发表于 2021-1-12 09:20
对，大致是这样，我的程序计算10^8好象是3个小时。数量级一样，没啥优势可言。所以10^10以上的需要用到大整 ...

筛选偶数的素对真值数量，只有采用更先进的计算工具、采用更先进的筛选程序，才能对付更大的偶数。

偶数扩大10倍，不仅仅是构成偶数素对的素数范围增大了10倍，并且涉及的素数也大都比原来的素数更大，因此所需要的运行时间必然要10几倍。
我的比较实例一般在12倍以上，尤其愈大数量级的偶数运行时间倍率愈大些。

当然单独的对计算而言，则可计算的偶数范围更广些，但是脱离了筛选真值的范围，失去验证计算的准确性，这样的计算也就没有意义了。
如使用哈代计算式的计算：
  G(2^48)=  178680063951   ;h(2^ 48 )inf ≈  167864943479.23  δ(M)≈-0.0605279
G(2^49)= 342469661688    ;h(2^ 49 )inf ≈  322166472369.64  δ(M)≈-0.0592846
G(2^50)=  656978437719   ;h(2^ 50 )inf ≈  618817310936.67  δ(M)≈-0.0580858
S( 2251799813685248 ) =  ;h(2^ 51 )inf ≈  1189575760101.36 δ(M)≈
S( 4503599627370496 ) =  ;h(2^ 52 )inf ≈  2288525714054.78 δ(M)≈

这里可以看到，使用哈代公式的指数形式的计算比较连乘式的方法的计算，要显得更简便与快捷。

ysr

好，计算大偶数的真值是有意义的。
我在研究快速傅立叶变换程序，网上找到个vb版程序，复制转录后运行结果是错误的，速度道是够快。
不知道咋改，这两天在抗疫，没有研究程序。
等疫情好转，就研究一下程序，弄出来快速乘法除法程序就可以验证大数据了。

愚工688

Xi(M) 计算式对2^n类型偶数M的素对数量的计算实例：

  Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2  ; t2=1.358-(log(M))^(.5)*0.05484

  S( 32 ) =  2          ;Xi(M)≈ 2.35         δxi( 32 )≈0.175  (t2=  1.255907 )
  S( 64 ) =  5          ;Xi(M)≈ 3.15         δxi( 64 )≈-0.37  (t2=  1.246163 )
  S( 128 ) =  3         ;Xi(M)≈ 4.55         δxi( 128 )≈0.5167  (t2=  1.237202 )
  S( 256 ) =  8         ;Xi(M)≈ 6.88         δxi( 256 )≈-0.14  (t2=  1.228862 )
  S( 512 ) =  11         ;Xi(M)≈ 10.72        δxi( 512 )≈-0.0254545  (t2= 1.221028 )
  S( 1024 ) = 22         ;Xi(M)≈ 17.19        δxi( 1024 )≈-0.218636  (t2= 1.213619 )
  
  S( 2048 ) =  25        ;Xi(M)≈ 28.19        δxi( 2^11 )≈0.1276  (t2=  1.206572 )
  S( 4096 ) =  53        ;Xi(M)≈ 47.04        δxi( 2^12 )≈-0.112453 (t2=  1.199839 )
  S( 8192 ) =  76        ;Xi(M)≈ 79.64        δxi( 2^13 )≈ 0.047895 (t2=  1.19338 )
  S( 16384 ) = 151        ;Xi(M)≈ 136.54       δxi( 2^14 )≈-0.095762  (t2=  1.187166 )
  S( 32768 ) = 244        ;Xi(M)≈ 236.57       δxi( 2^15 )≈-0.030451  (t2=  1.18117 )
  
  S( 65536 ) =  435       ;Xi(M)≈ 413.69       δxi( 2^16 )≈-0.048989  (t2=  1.175371 )
  S( 131072 ) = 749       ;Xi(M)≈ 729.25       δxi( 2^17 )≈-0.026368  (t2=  1.16975 )
  S( 262144 ) =  1314      ;Xi(M)≈ 1294.71      δxi( 2^18 )≈-0.014680  (t2=  1.164293 )
  S( 524288 ) = 2367       ;Xi(M)≈ 2313.23      δxi( 2^19 )≈-0.022717  (t2=  1.158985 )
  S( 1048576 ) = 4239      ;Xi(M)≈ 4156.51      δxi( 2^20 )≈-0.019460  (t2=  1.153814 )
  
  S( 2097152 ) = 7471      ;Xi(M)≈ 7506.91      δxi( 2^21 )≈ 0.004807  (t2=  1.148772 )
  S( 4194304 ) = 13705      ;Xi(M)≈ 13620.93     δxi( 2^22 )≈-0.006134 (t2=  1.143848 )
  S( 8388608 ) = 24928      ;Xi(M)≈ 24819.19     δxi( 2^23 )≈-0.004365 (t2=  1.139035 )
  S( 16777216 ) = 45746     ;Xi(M)≈ 45398.93     δxi( 2^24 )≈-0.007587  (t2=  1.134326 )
  S( 33554432 ) = 83467     ;Xi(M)≈ 83337.58     δxi( 2^25 )≈-0.001551  (t2=  1.129714 )
  
  S( 67108864 ) = 153850     ;Xi(M)≈ 153483.88    δxi(2^26 )≈-0.002380  (t2=  1.125193 )
  S( 134217728 ) = 283746    ;Xi(M)≈ 283528.56    δxi( 2^27 )≈-0.000766  (t2=  1.120758 )
  S( 268435456 ) = 525236    ;Xi(M)≈ 525228.14    δxi( 2^28 )≈-0.000015  (t2=  1.116404 )
  S( 536870912 ) = 975685    ;Xi(M)≈ 975509.16    δxi( 2^29 )≈-0.000180  (t2=  1.112128 )
  S( 1073741824 ) = 1817111   ;Xi(M)≈ 1816227.65   δxi( 2^30 )≈-0.000486  (t2=  1.107925 )
  
  S( 2147483648 ) = 3390038   ;Xi(M)≈ 3389190.8    δxi( 2^31 )≈-0.000250  (t2=  1.103791 )
  S( 4294967296 ) =  6341424  ;Xi(M)≈ 6337909.38   δxi( 2^32 )≈-0.000554  (t2=  1.099723 )
  S( 8589934592 ) = 11891654   ;Xi(M)≈ 11875825.44  δxi( 2^33 )≈-0.001331  (t2=  1.095719 )
  S( 17179869184 ) = 22336060  ;Xi(M)≈ 22294496.84  δxi( 2^34 )≈-0.001861  (t2=  1.091775 )
  S( 34359738368 ) = 42034097  ;Xi(M)≈ 41927656.25  δxi( 2^35 )≈-0.002532  (t2=  1.087888 )
  
  S( 68719476736 ) = 79287664   ;Xi(M)≈ 78982220.05  δxi( 2^36 )≈-0.003852  (t2=  1.084056 )
  S( 137438953472 ) = 149711134 ;Xi(M)≈ 149019955.08 δxi( 2^37 )≈-0.004617  (t2=  1.080278 )
  S( 274877906944 ) = 283277225  ;Xi(M)≈ 281584876.49 δxi( 2^38 )≈-0.005021  (t2=  1.07655 )
  S( 549755813888 ) = 536710100  ;Xi(M)≈ 532832300.04 δxi( 2^39 )≈-0.007225  (t2=  1.07287 )
  S( 1099511627776 ) = 1018369893;Xi(M)≈ 1009617578.58 δxi( 2^40 )≈-0.0085944 (t2= 1.069238 )
  

ysr

目前10位以上的我程序无法完成，运行时间太长了。
有了快速乘法除法程序的话20位以内的应该没问题。

愚工688

ysr 发表于 2021-1-15 03:25
目前10位以上的我程序无法完成，运行时间太长了。
有了快速乘法除法程序的话20位以内的应该没问题。

单单计算素对数量近似值是容易的，看下面100位数以上的大偶数的素对计算值的例子就可以看到，几乎不费什么计算时间：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G( 1D+100 ) =                  ;Xi(M)≈ 1.6602021638D+95     δxi(M)≈  
  G( 1D+101 ) =                  ;Xi(M)≈ 1.6274895596D+96     δxi(M)≈
  G( 1D+102 ) =                  ;Xi(M)≈ 1.5957344343D+97     δxi(M)≈  
  G( 1D+103 ) =                  ;Xi(M)≈ 1.5648997802D+98     δxi(M)≈  
  G( 1D+104 ) =                  ;Xi(M)≈ 1.5349502562D+99     δxi(M)≈  
  time start =12:35:26, time end =12:35:26

但是大偶数的素对真值的筛选需要运算时间，以及程序可计算的偶数范围的限制，不可能无限的。
即使我使用的高速筛选素对程序，能够筛选10^16以下的偶数，但是仅仅一个10^15的偶数素对筛选，也需要近2天的运算时间。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   
  G( 10^7 )  = 38807          ;Xi(M)≈ 38571.79        δxi( 10^7 ) ≈-0.006061
  G( 10^8 )  = 291400         ;Xi(M)≈ 291373.63       δxi( 10^8 ) ≈-0.0000906  
  G( 10^9 )  = 2274205        ;Xi(M)≈ 2273022.4       δxi( 10^9 ) ≈-0.0005200  
  G( 10^10 ) = 18200488       ;Xi(M)≈ 18187858.44     δxi( 10^10 )≈-0.0006939  
  G( 10^11 ) = 149091160      ;Xi(M)≈ 148555069.83    δxi( 10^11 )≈-0.0035957  
  G( 10^12 ) = 1243722370     ;Xi(M)≈ 1234162345.89   δxi( 10^12 )≈-0.0076866
  G( 10^13 ) = 10533150855,   ;Xi(M)≈ 10395227871.57  δxi( 10^13 )≈-0.01309;
  G( 10^14 ) = 90350630388    ;Xi(M)≈ 88673642506.88  δxi( 10^14 )≈-0.01856  
  G( 10^15 ) = 783538341852   ;Xi(M)≈ 764388083252.9  δxi( 10^15 )≈-0.02444;

因此对脱离了验证能力范围的偶数的素对计算，是没有意义的。

wangyangke

虽看你验证的有千千万，可还是希望看到你证明了至少有一个。

愚工688

wangyangke 发表于 2021-1-15 22:54
虽看你验证的有千千万，可还是希望看到你证明了至少有一个。

在自然数A内用小于√(2A)的全部素数筛选，必有筛余数x,构成素对{A±x}，使得猜想成立.

对于不懂得偶数分成两个素数对的方法的人来说，讲什么猜想的证明他能够听得懂吗？

自然数列的数，对于除以任意素数的余数，都是呈现周期性变化的。
因此无论偶数M（M=2A）有多大，如果指定筛余数x的条件是除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)的x值，这里的j2、j3、j5、…、jr 是指A除以素数2，3，…，n，…，r时余数。
那么筛余数x是必然存在的，并且这些筛余数x中处于在[0，A-3]中的值即使(A-x)+(A+x)成为素对。

自然数列的数，对于除以任意素数的余数，余数呈现周期性的特性正是偶数猜想必然成立的依据。

愚工688

举几个例子吧，省得看不懂，多解释也麻烦。
例1.偶数6、8、10的素对解值：
√（M-2）内的最大素数是2，
6的半值A=3，j2=1，因此在[0，A-2]内满足除以2的余数不等于j2的x的数有0，即6的素对为3+3；
8的半值A=4，4除以2的余数 j2=0，在[0，A-2]内满足除以2的余数不等于0的数有1，即8的素对有4±1；
10的半值A=5，5除以2的余数 j2=1，在[0，A-2]内满足除以2的余数不等于1的数有0、2，即10的素对有5+5；5±2；

例二，大一些偶数的偶数100的筛选对应余数条件：
由偶数100的半值50除以2、3、5、7的余数条件为（j2=0,j3=2,j5=0,j7=1),
得出x的余数条件:x(y2=1,y3=0,y5≠0,y7≠1与6），

由x的余数条件：2（1）、3（0）、5（1，2，3，4）、7（0，2，3，4，5），
可以有以下不同的20种组合：
（1,0,1,0),（1,0,1,2),（1,0,1,3),（1,0,1,4),（1,0,1,5);
（1,0,2,0),（1,0,2,2),（1,0,2,3),（1,0,2,4),（1,0,2,5);
（1,0,3,0),（1,0,3,2),（1,0,3,3),（1,0,3,4),（1,0,3,5);
（1,0,4,0),（1,0,4,2),（1,0,4,3),（1,0,4,4),（1,0,4,5);

运用中国余数定理，每个不同的余数条件组合在素数连乘积内（此题即２×３×５×７＝210 个连续自然数中）对应于一个唯一的整数，有
（1,0,1,0)=21, （1,0,1,2)=51, （1,0,1,3)=171,（1,0,1,4)=81, （1,0,1,5)=201;
（1,0,2,0)=147,（1,0,2,2)=177,（1,0,2,3)=87, （1,0,2,4)=207,（1,0,2,5)=117;
（1,0,3,0)=63, （1,0,3,2)=93, （1,0,3,3)=3,  （1,0,3,4)=113,（1,0,3,5)=33;
（1,0,4,0)=189,（1,0,4,2)=9,  （1,0,4,3)=129,（1,0,4,4)=39, （1,0,4,5)=159;

其中处于x值取值区域[0，47]内的x值有：21，9，3，33，39，

A= 50 ,x= : 3 , 9 , 21 , 33 , 39 ,( 47 ——符合条件b),
代人A±x,得到符合条件a的全部素对：
[ 100 = ] 47 + 53，41 + 59，29 + 71，17 + 83，11 + 89，（3 + 97 ）
M= 100 S(m)= 6 S1(m)= 5 Sp(m)≈ 4.571 δ1(m)≈-.086 K(m)= 1.33 r= 7
* Sp( 100)=[( 100/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 4.571

大于100的其它偶数的A除以√(M-2)内的素数的余数：
偶数102：A=51,j2=1,j3=0,j5=1,j7=2,
偶数104：A=52,j2=0,j3=1,j5=2,j7=3,
偶数106：A=53,j2=1,j3=2,j5=3,j7=4,
偶数108：A=54,j2=0,j3=0,j5=4,j7=5,
偶数110：A=55,j2=1,j3=1,j5=0,j7=6,
偶数112：A=56,j2=0,j3=2,j5=1,j7=0,
偶数114：A=57,j2=1,j3=0,j5=2,j7=1,
偶数116：A=58,j2=0,j3=1,j5=3,j7=2,
偶数118：A=59,j2=1,j3=2,j5=4,j7=3,
偶数120：A=60,j2=0,j3=0,j5=0,j7=4,
偶数122：A=61,j2=1,j3=1,j5=1,j7=5,

相信大部分网友都能够依据上述偶数的A除以素数2，3，5，7时余数条件，而列出x值除以素数2，3，5，7时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的余数条件组合，因而依据中国余数定理求出处于[0，A-3]内的对应x值来，得到符合条件a的全部素数对。

例3，再大一些的偶数908
偶数908，其√（908-2）内的最大素数是29，其半值A= 454，其分成两个素数对A±x的变量x的取值区间[0，A-3]中含有的整数为( 908/2- 2)个，
因此，其构成素对的x值的计算式是：
Sp( 908)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15

具体到每一步连乘因数的含义：
1/2——[0，A-3]中满足除以2的余数不等于j2的数的发生概率；
( 1/ 3)—— [0，A-3]中满足除以3的余数不等于j3与（3-j3）的数的发生概率；
( 3/ 5)—— [0，A-3]中满足除以5的余数不等于j5与（5-j5）的数的发生概率；
( 5/ 7)—— [0，A-3]中满足除以7的余数不等于j7与（7-j7）的数的发生概率；
……
这里的j2,j3,…,jn,…，jr系偶数半值A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。

因此依据概率的独立事件的乘法定理：
在自然数[0，A-3]区域中除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r-jr)的x值的分布概率P(m)，
有P(m)=P(2*3*…*n*…*r)
      =P(2)P(3)…P(n)…P(r).
即有
Sp( 908)=( 908/2- 2)*P(m)=[( 908/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)*( 15/ 17)*( 17/ 19)*( 21/ 23)*( 27/ 29)= 15
A= 454 ，
x= : 33 , 45 , 87 , 117 , 123 , 147 , 177 , 255 , 273 , 297 , 303 , 315 , 357 , 375 , 423 ,
M= 908 S(m)= 15 S1(m)= 15 Sp(m)≈ 15 δ(m)≈ 0 K(m)= 1 r= 29

当然如同908那样素对计算值与素对真值相符的偶数是比较少的，绝大多数偶数的素对计算值与素对真值存在一定的误差。

自然数中的数，对于除以√（M-2）内的每个素数的余数，是呈现周期性变化的特性，是自然数列的本来存在的自然规律。
了解偶数猜想的解值与素数余数呈现周期性变化的特性的关联性，就会明白猜想解的必然存在性，并且随偶数的增大，筛选排除的jr及(r-jr)数的比率（r-2)/r 会越来越小，而随着偶数增大，最大√（M-2）内的素数r 会逐渐增大，因此猜想解值的低位数量必然会越来越多的基本道理。