对于大于3的素数,相邻素数平方差都是24的倍数

dlpangong

蔡家雄 发表于 2018-8-13 11:36
1，2，3，都不是我的猜想

克莱姆猜想：（原来是这样的）

问题的症结找到了.
你把克莱姆猜想的条件改了
本是N>=8
你改为N>=10000
差之毫厘谬以千里.
如果你不改,谁改压缩空间 0.9?
以后要小心了!

我查找了多个英文百科网站,没看到你给出的公式,类似的有:
Cramér-Granville Conjecture
Defining p_0=2, p_n as the nth odd prime, and
the nth prime gap as  g_n=p_(n+1)-p_n,
then the Cramér-Granville conjecture states that

g_n<M(lnp_n)^2
for some constant M>1.
注意: M>1,不是 1,0.9,---
另外一类猜想格式:修改指数2 ,改为<2

唯独不见你给出的格式,
知道 下述表述的确切来源吗?

---------------------------------------
克莱姆猜想：（原来是这样的）
设N>=8, 在N与N+(ln N)^2之间一定存在素数。
-----------------------------------
我知道国内有人采用类似公式,而且声称已经把猜想变成了定理

=====

qhdwwh

除3以外的所有素数都可以表示为数列Pn=6n-1,Pn=6n+1，n=1,2,3...n
相邻素数有下面三种类型:
1)二个素数P1=6n1-1和P2=6n2+1 ,
2)二个素数P1=6n1-1和P2=6n2-1,
3)二个素数P1=6n1+1和P2=6n2+1,
并设n2≥n1    n2,n1=1,2,3...
1)二个素数P1=6n1-1和P2=6n2+1 ,
则相邻素数平方差可表示为P22-P21=（6n2+1）（6n2+1）-（6n1-1）（6n1-1）=6n2*6n2+12n2+1-6n1*6n1+12n1-1=36(n2*n2-n1*n1)+12(n2+n1)
当n2=n1,有P22-P21=36(n2*n2-n1*n1)+12(n2+n1)=12(n2+n1)=12*2n1=24*n1
当n2>n1   有P22-P21=36(n2*n2-n1*n1)+12(n2+n1)
=36（n2+n1)(n2-n1)+12(n2+n1)=12(n2+n1)*(3(n2-n1)+1)
当(n2+n1)为偶数时，12(n2+n1)必能被24整除,则12(n2+n1)*(3(n2-n1)+1)也必能被24整除,
当(n2+n1)为奇数时，(3(n2-n1)+1)必为偶数，
12(n2+n1)*(3(n2-n1)+1)必能被24整除，
则(n2+n1)为奇数或偶数，相邻素数平方P22-P21 均能被24整除.
2）二个素数P1=6n1-1和P2=6n2-1,
则相邻素数平方差可表示为P22-P21=（6n2-1）（6n2-1）-（6n1-1）（6n1-1）=6n2*6n2-12n2+1-6n1*6n1+12n1-1=36(n2*n2-n1*n1)-12(n2-n1)=12（n2-n1)(3(n2+n1)-1),则（n2-n1)为奇数，则(3(n2+n1)-1)为偶数
                       （n2-n1)为偶数，则(3(n2+n1)-1)为奇数
P22-P21=12（n2-n1)(3(n2+n1)-1),  能被24整除.
3）二个素数P1=6n1+1和P2=6n2+1,
同理可证相邻素数平方差P22-P21 能被24整除。
证毕

qhdwwh

qhdwwh 发表于 2018-8-18 09:51
除3以外的所有素数都可以表示为数列Pn=6n-1,Pn=6n+1，n=1,2,3...n
相邻素数有下面三种类型:
1)二个素数P1 ...

帖子发出发现有乱码，如相邻素数平方差可表示为P22-P21，原为上，下标量，发出后变为P22-P21，现将P22-P21更改为P2*P2-P1*P1.又除3以外的所有素数更改为除2,3以外的所有素数.

dlpangong

回复 qhdwwh:
很高兴看到你给出的证明.
证明基本正确,但有缺憾.
你认为:
相邻素数有下面三种类型:
1)二个素数P1=6n1-1和P2=6n2+1 ,
2)二个素数P1=6n1-1和P2=6n2-1,
3)二个素数P1=6n1+1和P2=6n2+1,
实际是四种类型
4)二个素数P1=6n1+1和P2=6n2-1,
请看下面例子我习惯 把-1 写作 5)
1 p1 =    11=    1*6 +5 ,p2 =    13=    2*6 +1 (n=   1 m=   2, 5,1) (-1, 1)
2 p1 = 31583= 5263*6 +5 ,p2 = 31601= 5266*6 +5 (n=5263 m=5266, 5,5) (-1,-1)
3 p1 = 31567= 5261*6 +1 ,p2 = 31573= 5262*6 +1 (n=5261 m=5262, 1,1) ( 1, 1)
4 p1 = 31573= 5262*6 +1 ,p2 = 31583= 5263*6 +5 (n=5262 m=5263, 1,5) ( 1,-1)

请参考 朱韬润 的 "任意两个不小于5的质数的平方差的公因数"
《中学生数学》 2013年10期
或查阅 doc88  :"任意两个不小于5的质数的平方差的公因数.pdf

你和朱韬润的证明很类似,但朱韬润认为有四种类型
他只证明了1种类型,其它3种---以此类推
你只证明了2种类型,其它1种---同理可证

拜托你善始善终,
按4种类型修改证明,4种类型差别较大,都按奇偶详细分析一下,不要简略
预先谢谢了
因为我原打算此话题结束时给出我的证明,我可以省心了.

dlpangong

Mathematica 数学软件很优秀
特别是数论方面函数很神奇.
我好奇下列3个函数的能力极限,有谁能告诉我?
预先表示感谢.
PrimeQ[2^k-1] k=2,3,----,能查出多少素数?
PrimePI[N]  N=2,2*3,2*3*5 ,--- k个素数连乘积,能计算的最大k是多少,给出PI值表
NextPrime[N] N的最大值 10000位? 100000位? 1000000位? 10000000位?

dlpangong

请好心人帮助
素数连乘积(含大数,常用于轮式因子分解产生素数):
--- 表示大数省略中间数字.
? 表示不知pi值,请好心人帮助添上
最后1列是连乘积,其前1列是连乘积的十进制数字位数
此表共 100 项,最大连乘积 220 位数字
计算的最大pi :k=  12  p=  37 pi= 259488750744 位数=  13 : 7420738134810  用时 1060 秒

k=   1  p=   2 pi=          1 位数=   1 : 2
k=   2  p=   3 pi=          3 位数=   1 : 6
k=   3  p=   5 pi=         10 位数=   2 : 30
k=   4  p=   7 pi=         46 位数=   3 : 210
k=   5  p=  11 pi=        343 位数=   4 : 2310
k=   6  p=  13 pi=       3248 位数=   5 : 30030
k=   7  p=  17 pi=      42331 位数=   6 : 510510
k=   8  p=  19 pi=     646029 位数=   7 : 9699690
k=   9  p=  23 pi=   12283531 位数=   9 : 223092870
k=  10  p=  29 pi=  300369796 位数=  10 : 6469693230
k=  11  p=  31 pi= 8028643010 位数=  12 : 200560490130
k=  12  p=  37 pi= 259488750744 位数=  13 : 7420738134810
k=  13  p=  41 pi= ?  位数=  15 : 304250263527210
k=  14  p=  43 pi= ?  位数=  17 : 13082761331670030
k=  15  p=  47 pi= ?  位数=  18 : 614889782588491410
k=  16  p=  53 pi= ?  位数=  20 : 32589158477190044730
k=  17  p=  59 pi= ?  位数=  22 : 1922760350154212639070
k=  18  p=  61 pi= ?  位数=  24 : 117288381359406970983270
k=  19  p=  67 pi= ?  位数=  25 : 7858321551080267055879090
k=  20  p=  71 pi= ?  位数=  27 : 557940830126698960967415390
k=  21  p=  73 pi= ?  位数=  29 : 40729680599249024150621323470
k=  22  p=  79 pi= ?  位数=  31 : 3217644767340672907899084554130
k=  23  p=  83 pi= ?  位数=  33 : 267064515689275851355624017992790
k=  24  p=  89 pi= ?  位数=  35 : 23768741896345550770650537601358310
k=  25  p=  97 pi= ?  位数=  37 : 2305567963945518424753102147331756070
k=  26  p= 101 pi= ?  位数=  39 : 232862364358497360900063316880507363070
k=  27  p= 103 pi= ?  位数=  41 : 23984823528925228172706521638692258396210
k=  28  p= 107 pi= ?  位数=  43 : 2566376117594999414479597815340071648394470
k=  29  p= 109 pi= ?  位数=  45 : 27973499681785493617 --- 61872067809674997230
k=  30  p= 113 pi= ?  位数=  47 : 31610054640417607788 --- 91543662493274686990
k=  31  p= 127 pi= ?  位数=  49 : 40144769393330361890 --- 26045136645885247730
k=  32  p= 131 pi= ?  位数=  51 : 52589647905262774077 --- 11912900610967452630
k=  33  p= 137 pi= ?  位数=  53 : 72047817630210000485 --- 32067383702541010310
k=  34  p= 139 pi= ?  位数=  56 : 10014646650599190067 --- 57366334653200433090
k=  35  p= 149 pi= ?  位数=  58 : 14921823509392793200 --- 47583863326864530410
k=  36  p= 151 pi= ?  位数=  60 : 22531953499183117732 --- 85163362356544091910
k=  37  p= 157 pi= ?  位数=  62 : 35375166993717494840 --- 70647889977422429870
k=  38  p= 163 pi= ?  位数=  64 : 57661522199759516590 --- 15606066319856068810
k=  39  p= 167 pi= ?  位数=  66 : 96294742073598392705 --- 06213075415963491270
k=  40  p= 173 pi= ?  位数=  69 : 16658990378732521938 --- 74862046961683989710
k=  41  p= 179 pi= ?  位数=  71 : 29819592777931214269 --- 00306406141434158090
k=  42  p= 181 pi= ?  位数=  73 : 53973462928055497827 --- 55459511599582614290
k=  43  p= 191 pi= ?  位数=  76 : 10308931419258600084 --- 92766715520279329390
k=  44  p= 193 pi= ?  位数=  78 : 19896237639169098164 --- 03976095413910572270
k=  45  p= 197 pi= ?  位数=  80 : 39195588149163123383 --- 83290796540382737190
k=  46  p= 199 pi= ?  位数=  82 : 77999220416834615532 --- 74868511536164700810
k=  47  p= 211 pi= ?  位数=  85 : 16457835507952103877 --- 97255934130751870910
k=  48  p= 223 pi= ?  位数=  87 : 36700973182733191646 --- 88073311157667212930
k=  49  p= 227 pi= ?  位数=  89 : 83311209124804345037 --- 92641632790457335110
k=  50  p= 229 pi= ?  位数=  92 : 19078266889580195013 --- 14933909014729740190
k=  51  p= 233 pi= ?  位数=  94 : 44452361852721854381 --- 79600800432029464270
k=  52  p= 239 pi= ?  位数=  97 : 10624114482800523197 --- 24591303255041960530
k=  53  p= 241 pi= ?  位数=  99 : 25604115903549260905 --- 26504084465112487730
k=  54  p= 251 pi= ?  位数= 101 : 64266330917908644872 --- 52525200743234420230
k=  55  p= 257 pi= ?  位数= 104 : 16516447045902521732 --- 98976591011245999110
k=  56  p= 263 pi= ?  位数= 106 : 43438255730723632155 --- 30843435957697765930
k=  57  p= 269 pi= ?  位数= 109 : 11684890791564657049 --- 96884272620699035170
k=  58  p= 271 pi= ?  位数= 111 : 31666054045140220605 --- 55637880209438531070
k=  59  p= 277 pi= ?  位数= 113 : 87714969705038411076 --- 11692818014473106390
k=  60  p= 281 pi= ?  位数= 116 : 24647906487115793512 --- 85681862066942895590
k=  61  p= 283 pi= ?  位数= 118 : 69753575358537695640 --- 47966964944839451970
k=  62  p= 293 pi= ?  位数= 121 : 20437797580051544822 --- 54320728837959427210
k=  63  p= 307 pi= ?  位数= 123 : 62744038570758242605 --- 76463753253544153470
k=  64  p= 311 pi= ?  位数= 126 : 19513395995505813450 --- 80227261852231729170
k=  65  p= 313 pi= ?  位数= 128 : 61076929465933196099 --- 11132959748531230210
k=  66  p= 317 pi= ?  位数= 131 : 19361386640700823163 --- 29148240284399976570
k=  67  p= 331 pi= ?  位数= 133 : 64086189780719724671 --- 48067534136392244670
k=  68  p= 337 pi= ?  位数= 136 : 21597045956102547214 --- 98759003964186453790
k=  69  p= 347 pi= ?  位数= 138 : 74941749467675838833 --- 69374375572699465130
k=  70  p= 349 pi= ?  位数= 141 : 26154670564218867752 --- 11657074872113330370
k=  71  p= 353 pi= ?  位数= 143 : 92325987091692603167 --- 14947429856005620610
k=  72  p= 359 pi= ?  位数= 146 : 33145029365917644537 --- 66127318306017798990
k=  73  p= 367 pi= ?  位数= 149 : 12164225777291775545 --- 68725818308532229330
k=  74  p= 373 pi= ?  位数= 151 : 45372562149298322783 --- 34730229082521540090
k=  75  p= 379 pi= ?  位数= 154 : 17196201054584064334 --- 62756822275663694110
k=  76  p= 383 pi= ?  位数= 156 : 65861450039056966402 --- 35862931579194844130
k=  77  p= 389 pi= ?  位数= 159 : 25620104065193159930 --- 50680384306794366570
k=  78  p= 397 pi= ?  位数= 162 : 10171181313881684492 --- 20112569797363528290
k=  79  p= 401 pi= ?  位数= 164 : 40786437068665554814 --- 65140488742774844290
k=  80  p= 409 pi= ?  位数= 167 : 16681652761084211919 --- 42459895794911314610
k=  81  p= 419 pi= ?  位数= 169 : 69896125068942847941 --- 90696338067840821590
k=  82  p= 421 pi= ?  位数= 172 : 29426268654024938983 --- 83158326560985889390
k=  83  p= 431 pi= ?  位数= 175 : 12682721789884748701 --- 41238747784918327090
k=  84  p= 433 pi= ?  位数= 177 : 54916185350200961878 --- 56377790869635629970
k=  85  p= 439 pi= ?  位数= 180 : 24108205368738222264 --- 49850191770041556830
k=  86  p= 443 pi= ?  位数= 183 : 10679934978351032463 --- 83634954128409675690
k=  87  p= 449 pi= ?  位数= 185 : 47952908052796135760 --- 52094403655944384810
k=  88  p= 457 pi= ?  位数= 188 : 21914478980127834042 --- 07142470766583858170
k=  89  p= 461 pi= ?  位数= 191 : 10102574809838931493 --- 92679023395158616370
k=  90  p= 463 pi= ?  位数= 193 : 46774921369554252815 --- 10387831958439379310
k=  91  p= 467 pi= ?  位数= 196 : 21843888279581836064 --- 51117524591190137770
k=  92  p= 479 pi= ?  位数= 199 : 10463222485919699474 --- 85294279180075991830
k=  93  p= 487 pi= ?  位数= 201 : 50955893506428936443 --- 38313960697008021210
k=  94  p= 491 pi= ?  位数= 204 : 25019343711656607793 --- 12154702230938414110
k=  95  p= 499 pi= ?  位数= 207 : 12484652512116647289 --- 65196413238268640890
k=  96  p= 503 pi= ?  位数= 209 : 62797802135946735863 --- 93795858849126367670
k=  97  p= 509 pi= ?  位数= 212 : 31964081287196888554 --- 42092154205321144030
k=  98  p= 521 pi= ?  位数= 215 : 16653286350629578936 --- 30012340972316039630
k=  99  p= 523 pi= ?  位数= 217 : 87096687613792697840 --- 96454328521288726490
k= 100  p= 541 pi= ?  位数= 220 : 47119307999061849531 --- 81791730017201031090

dlpangong

蔡家雄猜想及相关的计算结果
因为问题涉及 30 (轮子的基数),24的倍数(120*k+29=24*5*k+29)
这是最感兴趣的猜想,共做了8*8=64种情形的计算.
(修改后)
y2=4*r1+1
r2= y2 % 30
p1=30*k+r1 , r1 = 1,7,11,13,17,19,23,29
p2=4*p1+1 = 120*k+ 4*r1+1 = 120*k+y2
kmax=1000 k的最大值
s: p1 p2 都是素数的个数
err 10 不是 p2的原根的个数
err/s= 0 表示 10 都是   p2的原根
err/s= 1 表示 10 都不是 p2的原根

验证结果如下:
只有如下3种情形 p1 p2 同为素数:
1 有(r1= 7 r2=29 y2=29)  kmax= 1000 s=  137 err=    0 s/kmax=  0.14 err/s=  0.00 (r1=-1728959286 r2=4192780 )
2 有(r1=13 r2=23 y2=53)  kmax= 1000 s=  147 err=  147 s/kmax=  0.15 err/s=  1.00 (r1=-1728959286 r2=4192780 )
3 有(r1=19 r2=17 y2=77)  kmax= 1000 s=  126 err=  126 s/kmax=  0.13 err/s=  1.00 (r1=-1728959286 r2=4192780 )

表明:只有结果1情形: 10 都是   p2的原根,在验证范围内,蔡家雄猜想无反例

dlpangong

对于大于3的素数,相邻素数平方差都是24的倍数
这个主题,纯属茶余饭后闲谈,顺便为区间素数和偶数的素数对研究给有益启发
我对 6 12 24 30特别感兴趣
和大家讨论中受益非浅,也可能说了错话
感谢大家陪伴.
闲话太多会令人生厌,此话题可以结束了.
为践行我的诺言,在结题时,给出我的简要证明:
朱韬润的证明已经很好,作为答卷或论文,为行文简洁,可以"依此类推",
但是,4种情形差别很大,为了研究,我详细分析了 2*2*2共8种情形.
得到8个因子分解表达式,也许会发现你认为有用的.
-----------------------------------
为了一般化,我用轮式因子分解的概念,以便于推广
令 base= 6
任一正整数 x=base*n+r
colum[2]={1,5} 素数的模6的余数数组,(素数 模6的余数只能是 1 , 5)
--------------------------------------
设p1,p2为素数 ,n,r1,r2,k为 正整数
p1=6*n+r1       简记 (n,0,r1)   
p2=6*(n+k)+r2   简记 (n,k,r2) k>=0
p1 是 大于等同于5的素数(素数2,3不能表示为 p1=6*n+1 或 p1=6*n+5)
p2 是大于p1的素数,不一定相邻.
令 d2=p2^2-p1^2
则有
d2=p2^2-p1^2=(p2-p1)*(p2+p1)
         = (6*k +(r2-r1))*(6*2*n+6*k +(r2+r1))      ---(1)
因为 r1 r2 各有2个可能取值 (1,5)
p1 p2 排列共有 2*2=4 种可能:
   r1 r2   例子
1 (5, 1)   p1 =    11=    1*6 +5 ,p2 =    13=    2*6 +1
2 (5, 5)   p1 = 31583= 5263*6 +5 ,p2 = 31601= 5266*6 +5
3 (1, 1)   p1 = 31567= 5261*6 +1 ,p2 = 31573= 5262*6 +1
4 (1, 5)   p1 = 31573= 5262*6 +1 ,p2 = 31583= 5263*6 +5
下面按4种情形分别讨论公式(1),其中按k的奇数,偶数 再分为2种情形
1 (5, 1)   p1 =    11=    1*6 +5 ,p2 =    13=    2*6 +1
  d2=(6*k +(r2-r1))*(6*2*n+6*k +(r2+r1))
    =(6*k-4)*(12*n + 6*k+6)      ---(1.1)

  分别讨论 k 为奇数和偶数的情形:
  若 k 为奇数,则 k=2*m+1 m>=0,则
  d2 = (12*m+ 2)*(12*n+ 6*(2*m+2))  
     = 24*(6*m+1)*(n+m+1)         ---(1,2)
  若 k 为偶数,则 k=2*m  m>0,则
  d2 = (12*m-4)*(12*n+ 6*(2*m+1))  
     = 24*(3*m-1)*(2*n+2*m+1)     ---(1,3)

2 (5, 5)   p1 = 31583= 5263*6 +5 ,p2 = 31601= 5266*6 +5
  d2=(6*k +(r2-r1))*(6*2*n+6*k +(r2+r1))
    =(6*k)*(12*n + 6*k+10)       ---(2.1)
  分别讨论 k 为奇数和偶数的情形:
  若 k 为奇数,则 k=2*m+1 m>=0,则
  d2 = (12*m+ 6)*(12*n+ 12*m+6+10)  
     = 24*(2*m+1)*(3*n+3*m+4)    ---(2,2)
  若 k 为偶数,则 k=2*m  m>0,则
  d2 = (12*m)*(12*n+ 12*m+10)  
     = 24*m*(6*n+6*m+5)          ---(2,3)


3 (1, 1)   p1 = 31567= 5261*6 +1 ,p2 = 31573= 5262*6 +1
  d2=(6*k +(r2-r1))*(6*2*n+6*k +(r2+r1))
    =(6*k)*(12*n + 6*k+2)       ---(3.1)
分别讨论 k 为奇数和偶数的情形:
  若 k 为奇数,则 k=2*m+1 m>=0,则
  d2 = (12*m+ 6)*(12*n+ 12*m+6+2)  
     = 24*(2*m+1)*(3*n+3*m+2)    ---(2,2)
  若 k 为偶数,则 k=2*m  m>0,则
  d2 = (12*m)*(12*n+ 12*m+2)  
     = 24*m*(6*n+6*m+1)          ---(3,3)


4 (1, 5)   p1 = 31573= 5262*6 +1 ,p2 = 31583= 5263*6 +5
  d2=(6*k +(r2-r1))*(6*2*n+6*k +(r2+r1))
    =(6*k+4)*(12*n + 6*k+6)       ---(4.1)
  分别讨论 k 为奇数和偶数的情形:
  若 k 为奇数,则 k=2*m+1 m>=0,则
  d2 = (12*m+ 10)*(12*n+ 12*m+6+6)  
     = 24*(6*m+5)*(n+m+1)        ---(4,2)
  若 k 为偶数,则 k=2*m  m>0,则
  d2 = (12*m+4)*(12*n+ 12*m+6)  
     = 24*(3*m+1)*(2*n+2*m+3)    ---(4,3)
  综上所述,根据 (1.2) ,(1.3),(2.2) ,(2.3),(3.2) ,(3.3),(4.2) ,(4.3)
  得到:
  1 大于3的任意素数平方差都是24的倍数
  2 大于3的相邻素数平方差都是24的倍数,这是有用的特例
  因为 5^2-1= 24*1;
  所以有推论:
  3 大于3的任意素数平方减1都是24的倍数
  证毕
  因为我认为轮分解形式在素数分布和偶数的素数对拆分中有重要作用,
  特意证明的复杂一些,以便推广到 30,210,---.
  如有手误,请指出.
  -------------------------------------

dlpangong

回复 蔡家雄
仅有3种情形---是对的
71#数据已经修改
另外,
为我的连乘积数据 (70#)计算一些 " ?"代表的 PrimePI[] .如何?