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用公式法求解特殊佩尔方程

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发表于 2018-7-15 06:18 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-4-8 20:47 编辑

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5,[5,2],[20,9])
(13,[65,18],[2340,649])
(29,[377,70],[52780,9801])
(53,[1325,182],[482300,66249])
(85,[3485,378],[2634660,285769])
(125,[7625,682],[10400500,930249])
(173,[14705,1118],[32880380,2499849])
(229,[25877,1710],[88499340,5848201])
(293,[42485,2482],[210895540,12320649])
(365,[66065,3458],[456905540,23915529])


三条件的素性测试新算法:

Ln = ((1+√5)/2)^n+((1 - √5)/2)^n
    = 1,3,4,7,11,18,29,47,......

Cn = [(1+√2)^n+(1 - √2)^n]/2
    = 1,3,7,17,41,99,239,577,......

若 2^(n-1)  mod  n = 1,
且 Ln   mod   n = 1,
且 Cn   mod   n = 1,
则 n 一定是素数。



编程验证
s = 1;
For[n = 1, n <= 1000000, n++,
If[(Mod[2^(n - 1), n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√5)/2)^n+((1 - √5)/2)^n], n] == 1)
&& (Mod[Round[((1+√2)^n+(1 - √2)^n)/2], n] == 1), s=s+1;
  Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]


如下这个函数指令,

PowerMod[10, 2^32, 499927^25*2^32+1] 可以验证到 m <=10^10000(一万位数)

表示:10^(2^32) 模素数 499927^25*2^32+1 的余数,,,,,,,,,

三条件的素性测试新算法:征求:最新编程验证

即由 公式算法 成为实用的 计算机算法!!!
 楼主| 发表于 2018-7-15 06:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-2 12:42 编辑

素数倒数最大循环节长定理

设 k 为非负整数,

若 30k+7 和 120k+29 都是素数,

则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.


蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数,

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除,

若 2^n*P+1 ≡ 17或33(mod  40),

则 10 是 2^n*P+1 的原根,

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)+1 的原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)+1 的原根。


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)+1 的原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)+1 的原根。


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)+1 的原根。


设 k 为正整数,t 为非负整数,

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)+1 的原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)+1 都是素数,

则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)+1 的原根。



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 楼主| 发表于 2018-7-15 06:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-3-31 20:06 编辑

具有完全循环节的一条龙素数及其代码

设 n >=2 ,              
                                                         
若 (2*10^n+7)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                          
                                                                              
有 n=2, 3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442, 3761, 3806, 15617, 26459, 63117, 88545, 93497, ......


设 n >=2 ,   
                                                                 
若 (4*10^n+23)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                               
                                                                                 
有 n=2, 4, 10, 20, 26, 722, 1310, 3170, 28934, 66284, 67796, 231254, 338476, ......


设 n >=2 ,      
                                                                       
若 (8*10^n - 17)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                           
有 n=3, 4, 6, 9, 12, 72, 118, 124, 190, 244, 304, 357, 1422, 2691, 5538, 7581, 21906, 32176, 44358,......  


设 n >=2 ,   

若 (2*10^n+61)/9 是素数,则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                                       
有 n=2, 3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759, 7925, 9401, 10391, 12105, 19616, 261704, 264539,.......


B类具有完全循环节的一条龙素数,

若 (2*10^n - 23)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 4, 26, 44, 58, 73, 88, 211, 244, 1393, 2282, 4108, 6777, 7480, 14369, 16153, 21081, 24308, 27368, 43455, 51597, 55559, 67405, 88112}


B类具有完全循环节的一条龙素数,

若 (2*10^n - 59)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 6, 9, 10, 14, 15, 34, 49, 56, 138, 250, 350, 357, 374, 392, 1594, 4794, 5290, 6702, 11936, 22296, 55762, 55834, 96195}


C类具有完全循环节的一条龙素数,

若 (8*10^n - 11)/3 是素数,则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 21, 30, 68, 73, 169, 176, 345, 823, 1021, 1191, 2073, 2755, 10717, 14673, 16754, 17606, 81029}

判断:10 是素数 263 的原根,

判断:10 是素数 2663 的原根,

判断:10 是素数 266663 的原根,

判断:10 是素数 2666663 的原根,

判断:10 是素数 26666663 的原根,

判断:10 是素数 26666666666663 的原根,

判断:10 是素数 266666666666666666666663 的原根,

判断:10 是素数 2666666666666666666666666666663 的原根,

判断:10 是素数 266666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根,

判断:10 是素数 26666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663 的原根,


D类具有完全循环节的一条龙素数,

蔡氏完全循环节问题

若 \(2*10^n - 51\) 是素数,则 10 是这个素数的原根


谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={2, 3, 4, 8, 11, 13, 17, 28, 56, 105, 231, 339, 643, 922, 1219, 1880, 2209, 4238, 4987, 14770, 56194, 67043, 96867}

已知:10 是素数 149 的原根,

已知:10 是素数 1949 的原根,

已知:10 是素数 19949 的原根,

判断:10 是素数 199999949 的原根,

判断:10 是素数 199999999949 的原根,

判断:10 是素数 19999999999949 的原根,

判断:10 是素数 199999999999999949 的原根,

判断:10 是素数 19999999999999999999999999949 的原根,

判断:10 是素数 199999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根,

判断:10 是素数 1999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根,


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 楼主| 发表于 2018-7-15 07:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-6-17 09:09 编辑

若 30k+7 与 120k+29 都是素数,

则 g=2, 3, 10 是素数 120k+29 的三个原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数,

则 g=2, 3, 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的三个原根。


设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数,t, r 为非负整数,

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数,

则 g=3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。

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参与人数 1威望 +15 收起 理由
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 楼主| 发表于 2018-7-16 06:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-5-15 10:40 编辑

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4^k)*y^2= -1\) 的最小解,


求 \(x^2 - (n^2 -2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - (n^2+2)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2 -1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*n^2+1 , y=n\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2 -4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*(2n*(n+1) -1) , y=2n*(n+1)\) .

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


用公式法求解特殊佩尔方程

设 \(p=4k+1\) 是素数,

求 \(x^2 - p*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=2p*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r=?\) ,

使 \(y=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}\) 是整数。


推论:此时,

设 \(p=4k+1\) 是素数,

求 \(x^2 - p*y^2= -1\) 的最小解,

得 \(y=r\) ,  \(x=((2p*r^2)*(2p*r^2 -2)/p)^{1/2}/(2*r)\) .



设 \(d=8k+3\) 是素数,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

设 \(d=8k+7\) 是素数,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解,

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。


设 p=4k+1 是质数,

则 x^2 - p*y^2=±p 都有解,并求出它的的最小解,

5 [5, 2] [20, 9]
13 [65, 18] [2340, 649]
17 [17, 4] [136, 33]
29 [377, 70] [52780, 9801]
37 [37, 6] [444, 73]
41 [205, 32] [13120, 2049]
53 [1325, 182] [482300, 66249]
61 [232105, 29718],[13795392780, 1766319049]
73 [9125, 1068] [19491000, 2281249]
89 [4717, 500] [4717000, 500001]
97 [55193, 5604],[618603144, 62809633]

由 两个 x 都是 p 的倍数,可以用公式法求解此方程,

由 x^2 - p*y^2=±1 可以推导出 x^2 - p*y^2=±p 的最小解。


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(2n^2+2n+1)^2 -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

(5,[5,2],[20,9])
(13,[65,18],[2340,649])
(29,[377,70],[52780,9801])
(53,[1325,182],[482300,66249])
(85,[3485,378],[2634660,285769])
(125,[7625,682],[10400500,930249])
(173,[14705,1118],[32880380,2499849])
(229,[25877,1710],[88499340,5848201])
(293,[42485,2482],[210895540,12320649])
(365,[66065,3458],[456905540,23915529])


 楼主| 发表于 2018-7-16 20:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-3-31 14:22 编辑

杨辉三角中的素性判定

若 C(2*n, n)  ≡ 2 (mod   n^2), 则 n 一定是素数。


设 n >= 5,
若 C(n^2, n)  ≡ n  (mod   n^5), 则 n 一定是素数。



杨辉三角中的素性判定

若 \(C_{2*n}^{n}  ≡ 2\) \((mod\)   \(n^2)\), 则 \(n\) 一定是素数。


设 \(n >= 5\),
若 \(C_{n^2}^{n}  ≡ n\) \((mod\)   \(n^5)\),  则 \(n\) 一定是素数。



蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数,

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数,

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根

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 楼主| 发表于 2018-7-17 10:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-15 21:36 编辑

梅森素数与蔡氏完全循环节问题

设 素数 p >=7,

且 (2^p -1)=30k+1 或 (2^p -1) =30k+7 也是素数,

若 (2^p -1)*16^m+1=(2^p -1)*2^(4m)+1 是素数,

则 10 是素数 (2^p -1)*16^m+1 的原根,

则 1/((2^p -1)*16^m+1) 具有最大循环节长d= (2^p -1)*16^m .



判定梅森质数的卢卡斯序列

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,

L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607 = 两个梅森质数的乘积,

并且:2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。

即有:2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。

L5=708158977,

L6=1002978273411373057

   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)

   =127*7897466719774591 = 两个梅森质数的乘积,

已证:127 和 7897466719774591 都是素数,

已证:2^127 -1 是素数,据此 7897466719774591 是梅森素数,

即有:2^126*(2^127 -1) 是完全数,

以及:2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。


 楼主| 发表于 2018-7-17 12:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-2 16:30 编辑

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数,

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏偶数分拆

设 2n >=280,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数,

则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+15 >=49,且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数,

则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。


哥猜之蔡氏四素数解

设 2n+105 >=169,且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数,

则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

蔡氏四素数解是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。




同邻距的三生素数,

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,

最小解:p=7,  ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )

最小解:p=11,( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )

最小解:p=13,( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )

最小解:p=17,( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )

最小解:p=19,( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )

最小解:p=23,(  p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )

最小解:p=23,(  p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )

最小解:p=29,( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )

最小解:p=29,( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )

最小解:p=29,( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )

最小解:p=31,( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )

最小解:p=31,( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )

最小解:p=37,( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )

最小解:p=37,( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )

最小解:p=41,( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )

最小解:p=43,( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )

最小解:p=47,( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )

最小解:p=53,( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )

最小解:p=59,( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )

最小解:p=61,( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )

最小解:p=67,( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )

最小解:p=71,( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )

最小解:p=73,( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )

最小解:p=79,( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )

最小解:p=83,( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )

最小解:p=89,( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )

最小解:p=97,( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )

这种 同邻距的三生素数 有 无限多组 !!!


三连同邻距的三生素数,

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,

(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)

(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)


 楼主| 发表于 2018-7-17 12:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-3-31 14:07 编辑

π φ Σ  Φ  Ω  Γ ± ∞ ≠ ~ × ÷ ≤ ≥  ≈ ≡ √  ° ∈ ← ↑ → ↓  θ   ‖  ≌  ∴  ∵ ∥ α β θ ⊥ ∥  ∠  ⌒ ⊙  ≌  △
∏    ∑   ∕   ∝  ∟ ∠    ∣   ∥   ∧   ∨   ∩   ∪   ∫   ∮

\(n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3\) 隐藏的特殊解公式

\(n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3\)

\(n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3\)

\((n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3\)

\((n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3\)

\((3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3\)

\((3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3\)


\(2n^3+((6n)k^2)^3+((6n)k^3 -n)^3=((6n)k^3+n)^3\)


【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3,其中 P, A, B, C 都是质数,

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,

8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合,由 Treenewbee 程序计算,

709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]

2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]


【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3,其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数,

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3,E^3=e1^3+e2^3+e3^3,F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解,

由 Treenewbee 程序计算,

33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3

( 2833 , 3, [450, 2001, 2446], [744, 2001, 2428], [1362, 2001, 2302])
(19081, 3, [7516, 9033, 17952])
(30941, 3, [7795, 23015, 25691])
(15187, 3, [6960, 7275, 14062])
(24197, 3, [2621, 16408, 21350])
(26647, 3, [14304, 19294, 20655])

49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3


 楼主| 发表于 2018-7-19 07:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-25 05:02 编辑

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数,

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

10 是素数 3^2+2^3=17 的原根,
10 是素数 3^4+2^5=113 的原根,
10 是素数 3^6+2^7=857 的原根,
10 是素数 3^12+2^13=539633 的原根,
10 是素数 3^22+2^23=31389448217 的原根,
10 是素数 3^32+2^33=1853028778786433 的原根,
10 是素数 3^36+2^37=150094772735952593 的原根,
10 是素数 3^46+2^47=8862938260389989451257 的原根,
10 是素数 3^80+2^81=147808829414348341167722439464732709953 的原根,
10 是素数 3^154+2^155=29969067287845284806900763424259354345695037325432711901413781193689500137 的原根,
10 是素数 3^236+2^237=39867234790105605031052158475473603885214702979674478224207279045242447503005351752119734009677347787327998900593 的原根,
10 是素数
3^250+2^251=190683748116796615589766511371277507701260429967651126103174761897479526555470283571068048447508517209471538025816027497 的原根,
10 是素数 3^992+2^993=201504468751837621839727977404685926835150439376946832443975059933977838339689818555216935505351023009283611903196552713908086356058621995407002396777618301177811343575418503951721787383304872793005232962627245632571105557936833267194815304366778547765493764740044293673929368039251196446446723938278591809721982615857996114286344721172111746288859733499249290109426007919969472996555103682274449696455944323255567670689270574629521811105681761209036785000603422679143272833 的原根,


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