关于素数个数的一些经典公式介绍

小草

          关于素数个数的一些经典公式介绍
            Willans素数公式
   (1)
   对每个整数j≥1，令
          F(j)=[(cos^2)π((j-1)!+1/j)]
这里[x]表示x的取整部分.于是对每个整数j>1,当j为素数时F(j)=1，否则F(j)=0,并且F(1)=1.因此
          π(n)=-1+ΣF(j)   (j=1至n)
   (2)
          H(j)=(sin^2)π(((j-1)!)^2/j)/(sin^2)π/j
          π(n)=ΣH(j)  (j=2至n)
           
            Minac素数公式
          π(n)=Σ[(j-1)!+1/j-[(j-1)!/j]]
     证：
    若n≠4不是素数，则n除尽(n-1)!.这是因为n或者写成n=ab,其中2≤a,d≤n-1并且a≠b,或者n=p^2≠4.对于前者，n除尽(n-1)!；对于后者，2<p≤n-1=(p^2)-1,
从而2p≤(p^2)-1.于是n除尽2p^2=p*2p,从而n除尽(n-1)!
     根据Wilson定理，对每个素数j,(j-1)!+1=kj,其中k为整数，于是
          [(((j-1)!+1)/j)-[(j-1)!/j]]=[k-[k-(1/j)]]=1
若j不是素数并且j≥6,则(j-1)!=kj,其中k为素数.由上面注记可知
          [((j-1)!+1)/j-[(j-1)!/j]]=[k+1/j-(k)]=0
     最后对j=4,则
          [(3!+1)/4-[3!/4]]=0
    证毕.

            勒让德素数公式
    1808年勒让德经过认真研究用爱氏筛法给出了
           π(n)=π(n^0.5)-1+Σμ(d)[n/d]
其中d过所有正整数，并且d的素因子均不超过n^0.5
μ(d)定义是：μ(1)=1,μ(n)=(-1)^r,若n是r个不同素数的乘积，μ(n)=0,若某个素数的平方除尽n.
                   施承忠    2009.6.27