再与杨老师交换意见

雷明85639720

再与杨老师交换意见
雷  明
（二○一三年六月二十六日）
杨老师，我说话比较直，请你不要见怪。
我很不明白你说的这一段话的意思：“我发给你的那个图片——Mycielski—图的构造方法（我们称那个构造方法叫Mycielski操作），按着那个方法重复进行Mycielski操作，每操作一次色数都增加1，且团数不变（每一次都是保持无导出三角形，故团数不变），比如以5-圈出发，用一次Mycielski操作色数变为4，对得到的图再进行一次Mycielski操作色数就变成了5，以此类推会出现6色无三角形图，7色无三角形图，8色，9色。。。这也就是说图色数不可能被团数的线性式（团数常数倍+常数）界定上界，所以书你论文的出发点--尝试用团数给色数上界--是不正确的。”我认为：
1、无论m—数（即你说的圈数）是多大，得到的图密度（即你说的团数）都是2，其中都没有“三角形”。其色数都是：当m是偶数时都是3，而当m是大于1的奇数时则都是4。这就是我说的色数是其密度的1.5倍加1再向下取整的值。这种Mycielski—图的顶点数是v＝2m＋1,边数是e＝4m；
2、如果按那个所谓的“操作”对你所给的5—圈再“重复进行”一次，得到的图的密度虽仍是2（图中仍没有“三角形”），但其色数仍是4，不可能再成为5，以后再无论重复多少次，其色数总是4，不可能成为6，7，8，……，等等。所以说你说的“Mycielski构造的图说明：存在无三角形且色数任意大的图”这个结论可能不妥当，或者是错误的。根本不存在“存在无三角形且色数任意大的图”，但“色数任意大的图”却是存在的，因为图的密度可以是任意大的，且图的色数是绝不会小于图的密度的，所以就有“色数任意大的图”。但对于某个密度下的图的色数绝对不可能是“色数任意大”；
3、我不知道你如何从5—圈，一步步经过Mycielski—操作而得到“不含三角形的”且色数是3，4，4，6，……，等等的图的，请明示。反正我是不能得到这种结果的。
4、如果说一个无“三角形”的图的色数可以是任意大的，那么至少还能说明其色数比其密度是大的，且至少是可以大于1 的。这对于证明四色猜测来说就已经够用了。通过作图也可以看出那些Mycielski—图都是非平面图，与平面图是有区别的；
5、你如果认同我提出的某图最大团外若存在S（S≤［ω/ 2］）条不可同化道路的联，就一定会有S个顶点同化不到最大团中去，图的最小完全同态的顶点数一定是α＝ω＋S这一结论的话，那么就可以证明密度是2和3的平面图中最多都只可能存在一条这样的不可同化道路，而密度为4的平面图中根本就不可能存在不可同化道路的事，这就说明任何平面图的最小完全同态的顶点数都是不会大于4的，那么其色数也就不会大于4。这不就证明了四色猜测是正确的吗；
6、我认为，外国人提出的东西不可能全都是对的，我在要进行使用时，一定是要对其认真的分析一下的，也是要亲自对其进行检验一下的，看其是否是正确的。否则，这样学的东西再多，却都是别人的，没有属于自已的，而且也不知道所学的东西是对还是错。只所以我对你开始提出的5—Mycielski—图，进行着色，以及今天又对“Mycielski—操作”进行检验，也都是出于这一习惯的。
7、米歇尔斯基给出的“由一个不含三角形的k色图Gk”构造“一个不含三角形的k＋1色图Gk＋1”的方法，只能是“由一个不含三角形的3色图”得到“一个不含三角形的4色图”，其中的k只能是3，而不可能是别的什么数，得到的图的色数只能是4，而不可能是任意的。所谓“不含三角形”的图，实际上就是说图的密度是2，当图中含有奇圈时的色数就是3。这样做的结果所得到的图的色数是4，看起来似乎是在原色数3（奇圈的色数是3）的基础上加1，而原来的色数3实际上又是图的密度2的1.5倍并向下取整的值，即3，该图的色数又在3的基础上再加的1则是米歇尔斯基的构造方法中所添加的“v1，v2，……，vn”这n个以v为中心顶点的星形图中的互不相邻的各星点所着的一种颜色。因为这些互不相邻的星点全部同化成一个顶点后，这个同化后的顶点均与原Gk中的“u1,u2，……，un”都相邻。若原“u1,u2，……，un”是奇圈时，最多只占用三种颜色，而由“v1，v2，……，vn”所同化成的那个顶点又不能着以上三种颜色中的任何一种颜色，所以整个图的色数就成了3＋1＝4。这实际上是图的密度2的1.5倍再加1后向下取整的值，即γ＝［1.5ω＋1］＝［1.5×2＋1］＝［3＋1］＝［4］＝4。
8、如果原来的k色图Gk的密度不只限于2，而是ω，也不要限制图中有没有三角形，在这样的图的基础上再按米歇尔斯基给出的构造方法去做一次，得到的图的色数仍是原图密度的1.5倍再加1向下取整的值，即γ＝［1.5ω＋1］。由于密度是任意的，所以图的色数也是任意的。但这里的图均是不同的，因为它们的密度是不同。而不是米歇尔斯基所说的“一个不含三角形”的图的色数是任意。我这里得到的结论与米歇尔斯基得到的结论是不同的。我认为，我是对的。你所说的“Mycielski构造的图说明：存在无三角形且色数任意大的图”也是不对的。
雷  明
二○一三年六月二十六日于长安
附：杨老师6月25日的来信：
雷明先生，你好，你可能没有理解前面几封信提到的这么一句话：一个没有三角形的图色数可以任意大（这是一个已经被证明正确的结论）！解释如下：
我发给你的那个图片——Mycielski—图的构造方法（我们称那个构造方法叫Mycielski操作），按着那个方法重复进行Mycielski操作，每操作一次色数都增加1，且团数不变（每一次都是保持无导出三角形，故团数不变），比如以5-圈出发，用一次Mycielski操作色数变为4，对得到的图再进行一次Mycielski操作色数就变成了5，以此类推会出现6色无三角形图，7色无三角形图，8色，9色。。。这也就是说图色数不可能被团数的线性式（团数常数倍+常数）界定上界，所以书你论文的出发点--尝试用团数给色数上界--是不正确的。
你如果明白了“一个没有三角形的图色数可以任意大”这句话就能理解为什么说你在这个出发点下不可能得到有意义的结果（请仔细理解上面几句话，如果你依然不能理解可回信咨询，这样你应该能够理解论文的错误所在）。
另外，我现在要做的事情也多起来，所以近期内没有时间再次阅读你的论文，最后我给出一点建议--均是我个人的想法--你可以酌情采纳，不合适的地方请见谅！
建议：与你通讯几次后感觉你在数学方面的专业训练是欠缺的，当前思维的严密程度不足以支撑专业的学术研究，所以我想你在从事专业研究时应当注意打基础--比如认真研读一本图论的入门教材并认真钻研其课后习题，建议阅读Bondy教材译本，应当做到脱稿讲述该教材所有主要定理证明，能够独立完成该教材80%-90%以上的课后习题（这是我入门图论专业的基本训练），这个过程可以算作入门的系统训练；在完成该过程后可以提高一个层次，阅读译本研究生级别的图论教材--比如D.
West的《图论导引》，Diestel的《图论》，这些教材较深刻，可以选读你感兴趣的章节，可以少点章但重要的是完整而认真系统的阅读并完整理解整个章（重要章节尽量能做到讲述其证明过程）。在完成这些基本训练后可以阅读一定量的本领域综述性最新论文，了解学术前沿。训练基础的过程也是训练思维的过程，我想一个非天才的科研人员，扎实的基础训练是必须的！我个人认为你虽然有了一定的图论常识，但是从你论文来看还应该继续从基础入手去训练自己（比如一个普通的数学专业科研人员基本都要经历10年以上的有指导的全日制专业训练，这个训练过程是一个科研人员专业基础、思维方式、视野等科研必备素质的形成过程）。
如果你愿意花一两年时间去好好打打基础，训练基本功的话，到时回头再看你的研究应该会有不一样的看法。
所谓“桃李不言下自成蹊”，如果你的研究是有价值的，终会被人发现的。
祝顺利
ywh