与杨老师交换意见

雷明85639720

与杨老师交换意见
雷  明
（二○一三年六月八日）
杨老师，你的第二个问题，我只大概能看明白你是在说如何能把一个图的同化进行到最后，以求出其最终的最小完全同态。
我认为：
1、我只所以企图不用着色的方法对猜测进行证明，就是因为图的种类多种多样，永远也着不完，那么猜测也就永远也证明不了是正确还是不正确。
2、如果要把一个图一个图的同化进行到最后，求出其最小完全同态，这与对一个个的图进行着色有什么两样呢。
3、我用这种方法最后确定的只是不同密度下任意图的色数的一个较窄范围的界，并不是某个图的具体色数，但该图的具体色数值一定是会落在这个范围之内的。该图同化的最终结果——最小完全同态——的顶点数一定不会小于图的密度，也不会大于图的密度的一点五倍。在证明时并不需要一步一步的同化下去，即就是同化下去了，得到了一个图的最小完全同态，你也不可能把所有的图都这样一步一步的同化完。因为在证明时针对的不是具体的图，只要从道理上能讲得通就行了，不必一定要得到最小的完全同态。因为不是具体的图，也不可能得到最小的完全同态。
你所给的图的密度是3，且只有一个K3团，该团外也没有不可同化道路，那么这个图同化到最终一定是还是一个K3图，这就回答了你所提出的图H是否可同化到图T上的问题，着色时最多只用三种颜色，如图（我对这个图的着色有误，请看以后的回复中的更正。——雷明注）。

4、我所得到的任意图色数的界ω≤γ≤ ，已经能够满足对于证明四色猜测的要求了。密度为1到3的平面图的色数一定是不大于4的（ ＝ ＝4≯4），而对于密度为4的图，其色数的界是由4到6，有4、5、6三种色数值。但可以证明色数大于4时，这样的图却不是平面图。因此可得到密度为4的平面图的色数一定是4的结论，所以也就可以得到任何平面图的色数都不大于4的结论。
5、我认为，证明方法是一回事，着色又是一回事。能从理论上证明出任意平面图的色数总不大于4，但叫他对一个具体的图进行着色时，他不一定就能够对该图进行4—着色，并不能因为某个人对某个图不能进行4—着色，就说猜测测不正确。这正如解一元二次方程一样，每一个人都知道一元二次方程一定有两个根，且也会证明，但叫他解一个具体的一元二次方程时，他却不一定就能算正确，因为他可能不会开平方的计算。也不能因为他不会解某个一元二次方程而说一元二次方程一定有两个根的结论及求根公式都不正确。
6、我从理论上通过研究同化的概念可以得到任意图的色数的界，但叫我对一个亏格很高、很复杂的非平面图着色时，可能我所用的颜色种数也会超出其界的。这完全是可能的。但也不能说这个界是不正确的。
7、所以我认为你没有必要提出要求在进行了一步同化后，下一步如何进行同化的问题。其实我在分析问题的过程中，也并没有对任何一个顶点进行同化，只是说明了他们是可以同化到一起的。
8、我的认识是否正确，比喻是否恰当，请批评指正。
雷  明
二○一三年六月八日于长安
注：该文已于二○一三年六月十日在《数学中国》网上发表过。
附：杨老师2013年6月7日再提出的问题：
问题1再更改定义后是通顺的。
关于问题2的回答不能说服我，疑问如下：
我们现在可以假设一个图没有你定义的饱和道路，那么你就会进行你的操作，一步一步去同化道路。我的意思是这个同化过程是不可重复进行的，第一步你可以同化一条道路，但是同化这条道路后还能否进行下一步？你需要说明这一点才行。才能实现把最大团外的子图同化到最大团上。
例子：定义图H, V={v1,v2,v3,v4,v5;u1,u2,u3,u4,u5;z},E={v1v2,v2v3,v3v4,v4v5,v5v1;v1u2,v1u5,v2u1,v2u3,v3u2,v3u4,v4u5,v4u3,v5u4,v5u1,u1z,u2z,u3z,u4z,u5z},事实上，H就是我们通常说的Mycielski
graphs--以5-圈为基础构造。
现设T=x1x2x3x1是一个三角形，加边x1v5,x2z,这样T和H构成一个密度为3的图，且只有一个最大团T，T外无任何饱和道路。按照你的理论，我是否可以说H可以同化到T上？
担心你不明白我的问题，现在追加强调一点：
关键问题：我想让你说明的是你的操作（同化道路）的过程是可以重复进行的。这样你下面使用操作得到的理论才有意义。
给出的例子你不需要尝试去把H同化到T上，只需要按照你的理论（当前最大团外的子图最大团数为2，没有你说的饱和路情况下）回答是否可以同化到T上即可。