[讨论]对一棵小草两篇文章的评论

雷明85639720

对一棵小两篇文章的评论
雷  明
（二○一二年六月二十七——七月二日）
一、对《对顶点换色的剖析》一文的评论
1、你说“联合中心顶点所构成的曲线向右画还是向左画，是有说道的。它关乎到哪个顶点在其内，哪个顶点在其外部的问题。并不是如作者那样不予区别！”
请你能够用具体的图来说明。什么是“向右画”，什么是“向左画”。什么是“在其内”，什么是“在其外部”等。
2、你说“设曲线隔离了v2与v4，下一步也不是简单地随便可以换色的！只能是将2换成4，而非能反过来！这就遇到了与证明5色定理时不同的地方”。
为什么不能把4换成2呢。难道两个星点（不相邻的顶点）v4和v5不能着成同一颜色2吗。如果你那个图是一个轮，那么把4换成2，顶点v5自然也就换成了4色了，这有什么不可以呢。虽然没有空出颜色给v，图仍是原来类型的图，但有了这一次经验，下一次它一定会从顶点2进行换色的，这不是明摆着的事实吗。其实，这不用说，明眼人一看就知道该从那个顶点换色。在这个图中，2色已用了两次，最好不要再换掉2色。图中顶点1和4 并不在同一连通分支上，那么把顶点1的1色（或顶点4的4色）换成4色（或1色）不也就可以大到目的了吗。你自已画画图。
3、你说“接着的新问题又来了：两个2色在先后换色的过程中，产生相互关联的情形，这就是出现希伍德的反例图。”
你这里是不是指的从顶点4换色后，又产生了5个邻点还着4色的情况呢（这就是我说的“如果你那个图是一个轮，那么把4换成2，顶点v5自然也就换成了4色了，这有什么不可以呢。虽然没有空出颜色给v，图仍是原来类型的图”呢。这怎么能叫反例图呢，难道它再不能能通过换色而空出颜色给v吗。在把4换成2后，这个图中，仍是2色用了两次，最好不要再换掉2色，图中顶点3和5并不在同一连通分支上，那么把顶点3的3色（或顶点5的4色）换成4色（或3色）不也就可以大到目的了吗。你也可以自已画画图。
4、你说“当5邻点达到3着色（虽然这是不必要的）时”你画了一个图。
请问：5 邻点有你那样v1（1）—v2（2）—v3（3）—v4（3）—v5（2）着色的吗，既然v3和v4是相邻的，都着成（3）色能行吗。你还专门用括弧进行了注释“虽然这是不必要的”，不必要你还画它干什么，说它干什么。
5、你说“与此同时还需要修正一下我们用的约当曲线。事情是这样的，约当曲线确实有，其定理已众所周知；但不能停留在字面上！然而我们在这里其实用的是约当折线（由边构成的回路）。”
这有必要吗，是谁规定的边一定要用直线来画呢，把由折线构成的回路不能画成一条闭合曲线（约当曲线）吗，多此一举。
6、你说“顶点换色法不是到处可以适用的！”
既然不是到处都适用的，那么你就应给它指定一个适用范围呀。你所说的所谓的不适用，都是些人们一眼就能看出该怎么做的问题，是枝节问题，不需要专门指出适用不适用，说得多了反而给人以复杂感。其实坎泊的换色方法（颜色交换技术）是很简单的，是正确的，还是有用的。不能把前人的一切都否定完了。
雷  明
二○一二年六月二十七日于长安
附：一棵小草的《对顶点换色的剖析》一文：
对顶点换色的剖析
近日大连学习归来，又回想原来写的博文《用归纳法证明四色猜想的思考》，那里介绍百度文库“四色定理论证”，陕西屈氏的文章，他一直应用（对顶点）归纳法证完四色定理。我当时感觉归纳法有出路，但该文写得特别繁琐。这一次我归纳一下：作者反复使用5色定理给顶点换色的办法（见“关于图的运算”），该方法的使用具有广泛性、普遍性和认可性。因此也有一定的权威性！但令业内人士也感到它的神秘性，被【数学聊斋】的作者王树和称之为“绝招”。给顶点换色的方法到底是个什么方法，是否基于某个公理或者什么定理？今天就从头到脚给它剖析一番。（图略）
例如，图中5邻点着上1、2、3、4、5色。在G(V-v)中，任意不相邻的两顶点，如：v1、v3（着1、3两色）有两种情况。1）不在同一连通分支中或2)在同一连通分支；1）可换色，以达到5邻点四着色目的，2）联合v后构成约当曲线，隔离v2、v5（或v2、v4），如1）一样都达到5邻点四着色目的。目前，这一“绝招”被屈氏发展到5邻点四着色。似乎上面那两条成了一个规律，非此即彼。是这样吗？细心的读者看下图，（图略）
该图用起来就没有那么顺利。比如v1、v3当属于同一连通分支时，联合中心顶点所构成的曲线向右画还是向左画，是有说道的。它关乎到哪个顶点在其内，哪个顶点在其外部的问题。并不是如作者那样不予区别！这是其一。现在往下进行，崭不做区别。设曲线隔离了v2与v4，下一步也不是简单地随便可以换色的！只能是将2换成4，而非能反过来！这就遇到了与证明5色定理时不同的地方，这是其二。若再考虑到曲线画的方向问题，接着的新问题又来了：两个2色在先后换色的过程中，产生相互关联的情形，这就是出现希伍德的反例图。有实践经验的网友都能读懂这一点。更有意思的是，当5邻点达到3着色（虽然这是不必要的）时，（图略）（括号内数字表示着色）照常再分析某两点时，并不都具有（1）或（2）的属性。如v1(1)、v4(3)在同一个连通分支中,是不会将顶点v5(2)与 v3(1)隔离开的！同样，v5(2) 与v3(1)也不能把v1(1)与v4(3)隔离开。因为v1(1)就在曲线上。与此同时还需要修正一下我们用的约当曲线。事情是这样的，约当曲线确实有，其定理已众所周知；但不能停留在字面上！然而我们在这里其实用的是约当折线（由边构成的回路）。刚才的例子尤为明确。
终上剖析，已往的顶点换色法不是到处可以适用的！
二、对《华罗庚闪光的归纳法思想》一文的评论
很好！如果把画线段的平面也看成是一个面，则公式（1）就变成为V＋F－E＝2，或者写成v＋f－e＝2，这就是亏格为0的多面体或平面图的欧拉公式。为什么V＋F－E的结果是2，这里并没有说明，所以说你引用的那个V＋F－E＝1，并没有什么根据，用V＋F－E＝K（K为任意的正整数）对你举出的那些例子进行验证也应该都是正确的。在这种情况下，若规定K为不大于2的偶数（包括0和负偶数在内）时，＝K（v＋f－e＝K）或就成了不同亏格n（n≥0）下曲面上的欧拉示性数了，当n＝0时，K＝2，当n＝1时，K＝0，当n＝2时，K＝－2，当n＝3时，K＝－4，……，等等。2012，7，1,
从你的五步证明中看，顶点、边和面的变化量ΔV、ΔE和ΔF虽然各不相同，但ΔV＋ΔF－ΔE的变化量却始终均等于0，并没有发生变化。当然公式（1）V＋F－E＝1也就不会有什么变化，其结果仍然是1。对于公式（1）其右边的1实际上可以用任意数代替，变成V＋F－E＝K，当K＝2时，V＋F－E＝2，这就是亏格为0的平面（或球面）上的图和凸多面体的欧拉公式。若把多阶曲面的亏格用n（n≥0）表示，并令K＝2（1－n），则上式就变成V＋F－E＝2（1－n），这就是多阶曲面上的欧拉公式。用V＋F－E＝2（1－n）可以直接导出多阶曲面上的赫渥特地图着色公式γn≤＜（7+（1+48n）^0.5）/2＞ ，当n＝0时，γn≤4,这就是四色猜测。2012,7,2
附：引用一棵小草《华罗庚闪光的归纳法思想》一文中的一个例子。
例5、平面上若干条线段连在一起组成一个几何图形，其中有顶点，有边（两端都是顶点的线段，并且线段中间再没有别的顶点），有面（四周被线段所围绕的部分，并且不是由两个或者两个以上的面合起来的）。如果用V、E和F分别表示顶点数、边数和面数，求证：
        V-E+F=1                                                            (1)
证明：我们应用数学归纳法。
当n=1，就是有一条线段的时候，有2个点，1条线，无面。也就是
        V1=2，E1=1，F1=0
所以结论是正确的。
假设对由不多于k条线段组成的图形，这个定理也成立。
添上一条线可以又好几种添法，但是这条线是与原来的图形连在一起的，所以至少要有一端在原图形上，根据这一点，我们来考虑一下各种可能情况。
（1）一端在图形外，另一端就是原来的顶点。这样，点数加上1，线数加上1，面数不变。这就是要在原来的公式的右边加上1-1+0=0.所以（1）式成立。
（2）一端在图形外，另一端在某一线段上。这样，点数加上2，线数也加上2（除掉添上的一条线之外，原来的某一条线被分为两段），面数不变。因为2-2+0=0，所以（1）式仍成立。
（3）两端恰好是原来的两顶点。这时，这条线段把一个面一分为两，即线、面数各加上1，而点数不变。因为0-1+1=0，所以（1）式仍成立。
（4）一端是顶点，另一端在一条边上。这时，点数加上1，边数加上2（一条是添的线，另一条来自把一边一分为两），面数加上1.因为1-2+1=0，所以（1）式仍成立。
（5）两端都在边上。这时，点数加上2，边数加上3，面数加上1.因为2-3+1=0，所以（1）式仍成立。
综上所述，可知公式V-E+F=1
对于所有的n都成立。

雷  明
二○一二年七月四日整理于长安

注：评论写好当于就发到了一棵小草的博客中去了。