[原创]形象的表达素数的分布(续4)

qdxy

[watermark]形象的表达素数的分布(续4)..........qdxinyu20050715
`````继续介绍精确的素数个数的公式:
````````{`````1```````1!`````````2!````````````(k-1)!```}  
π(M)≈M{--------+-----------+-----------+....+---------}
........{(2.3m.o)..(2.3m.o)^2..(2.3m.o)^3.....(2.3m.o)^k}
给定数M内的素数的个数等于M与“数项系数累加和”的积。
(2.3m.o)是M的常用对数值转换成自然对数值的简化写法。
Ln10==2.302585092..是换底系数，m.o是常用对数首数.尾数。
计算的关键是：项数k的多少，
2√Ln10=2√2.3..==2·1.517427129..==3.034854259..，
在M〈10^4,取“k=|2(√LnM)-2|==|2(√2.3m)-2|=|3(√m)-2|”
在M〉10^4,取“k=|2(√LnM)-3|==|3.034(√m)-3|=|(1.011(√m)-1)3|”
k(10^1)==|(3(√1)-2|==|3-2|=1
k(10^2)==|(3(√2)-2|==|4.2-2|=2
k(10^3)==|(3(√3))-2|==|5.2-2|=2
k(10^4)==|((√4)-1)3|==|1·3|=3
k(10^5)==|((√5)-1)3|==|1.2·3|=3
k(10^6)==|((√6)-1)3|==|1.4.·3|=4
k(10^7)=|(1.01(√7)-1)3|=|1.67·3|=5
k(10^8)==|((√8)-1)3|==|1.8·3|=5
k(10^9)==|(1.01(√9)-1)3|==|2·3|=6
k(10^16)=|(1.01(√16)-1)3|=|3·3|=9
k(10^25)=|(1.01(√25)-1)3|=|4·3|=12
k(10^36)=|(1.01(√36)-1)3|=|5·3|=15
k(10^(100))=|(1.01(10)-1)3|=|9·3|=27
k(10^(10000))=|(1.01(100)-1)3|=|100·3|=300
k(10^(1000000))=|(1.011(1000)-1)3|=|1000·3|=3030
k的值与M的对数的首数有关,首数每增大一个平方数,k的值增大3。
素数个数的公式:有三种公式,分别为(1),(2),(3)
累加各项解（1），最重要的是解的位数（3），可以用对数的
的运算获得（2）。 例如：
求：10^4内的素数个数。Ln10^4=2.3·4=9.210..,Lg10^4==4,
(Lg9.21)==(0.9642)，(Lg9.21)^2=1.92,(Lg9.21)^3=2.88,Lg2=0.3
``````````````{``1``````1````````2```}  
π(10^4)≈10^4{-----+--------+-------}.......(1)
..............{(9.21).(84.83).(781.3)}
Lgπ(10^4)≈{(4-0.9642)+(4-1.93)+(4+0.3-2.88)}
============{(3.0358)+(2.07)+(1.4)}................(2)
π(10000)=====1085+117+25====1229..实际素数个数1229
5位数的解=====4位含3位含2位=====5位数的数有4位数个的素数..(3)
求：10^6内的素数个数。Ln10^6=2.3·6=13.81551,Lg10^6=6
(Lg13.81551)=(1.140367)，(Lg13.)^2=2.2807.,(Lg13.)^3=3.42,
(Lg13.)^4==4.5614,Lg2=0.3.,Lg6=0.778.
````````````````{``1`````1``````2````````6```}  
π(10^6)≈(10^6){-----+------+-------+-------}......(1)
................{13.8..190.8..2639.9..36430.7}
Lgπ(10^6)≈{(6-1.140367)+(6-2.28)+(6+0.3-3.42)+(6+0.778-4.561)}
============{(4.859633)+(3.7193)+(2.88)+(2.217)}...........(2)
π(1000000)====72382.4+5239.2+758.4+164≈78545,.实际有78498个
7位数的解=====5位含4位含3位含3位===7位数的数有5位数个的素数.(3)
求：10^9内的素数个数π(10^9)。Ln10^9=2.3·9=20.7
``````````````{````1````````1``````````2!````````````5!`````}  
π(10^9)≈10^9{--------+----------+-----------+...+---------}
..............{(2.3·9)..(2.3·9)^2..(2.3·9)^3...(2.3·9)^6}
```10^9``10^9``2·`10^9``6·10^9``24·10^9``120·10^9  
==-----+-----+---------+--------+---------+-----------
...20.7..429.4..8899.6...184430...3822002....79204378
```10^9``10^9`````10^9`````10^9``````10^9```````10^9  
==-----+-----+----------+----------+----------+-----------
...20.7..429.4...4449.8....30738.....159250.....660036
Lgπ(10^9)≈{(9-1.316)+(9-2.633)+(9+0.3-3.948)+(9+0.778-5.266)
.............+(9+1.38-6.582)+(9+2.07-7.89)}
====={(7.68354)+(6.367)+(5.3516)+((4.512)+(3.798)+(3.18)}.....(2)
π(1000000000)=48254942+2328539+224727+32532+6279+1514≈50848536
10位数的解====8位含7位含6位含5位含4位含4位=10位数的数有8位数个的素数.....(3)
1000000000内...................实际素数个数有....50847534
公式(1)常规解法，复杂。
公式(2)分项取对数法，简单。
公式(3)取分项位数法。直观。
公式(3)对于表示数的位数，素数个数的位数，筛留比例，很明确。
可以利用公式(2),对应找到公式(3)的解,
更大的数，其公式(3)的解的规律,对于判断素数的相对大小,误差大小
是足够用的。让我们继续深入吧。
             青岛  王新宇
               2005.07.17
准备介绍和探讨Liudan的图,先移过来.

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qdxy

[这个贴子最后由qdxy在 2011/03/15 05:40am 第 4 次编辑]

         介绍和探讨一些素数个数求解公式
     x内的素数个数用符号π(x)表示。符号^表示前数的后数次数的幂。
很早就知道：
π(x)=》[x/Ln(x)](Ln2)/3≈[x/Ln(x)]/4.3280。   
π(x)=《6(Ln2)[x/Ln(x)]≈4.1588830[x/Ln(x)]。
π(x)=》0.92129[x/Ln(x)]。π(x)=《1.105548[x/Ln(x)]。
π(x)≈x/[Ln(x)-1.08366]。
π(x)≈x/[Ln(x)-B],若B=1,误差小于[x/(Lnx)^3],
若B不=1,误差小于[x/(Lnx)^2](即:精度差)。
B不=1(实际验证:要准,需x不大于8位数时B要微大于一,x大于8位数时B要微小于一)
就是说:任何使B更接近1的参数式,都可提高精确度的等级。
减B的形式变换为减[接近相等的两对数的比值]。
Ln(x)-B=Ln(x)-[B*Ln(x)/Ln(x)]}，推导出：精度升级系数。它等于:
任何比值接近1的以自然对数为主要分子,分母参数的系数公式的解值。
   Liudan给出了4个精确度等级的计算公式:
适合求8位数以内数的素数个数的公式的B参数,
B=[(Lnx)-1]/[(Lnx)-2]。
以π(x)≈x/[Ln(x)-1]为界限，B的分子开始小于B的分母了，
适合刚大于8位数的数以内的素数个数的公式的B参数,
B=[(Lnx)-2]/[(Lnx)-1]。
适合远大于8位数的数以内的素数个数的公式的B参数,
B={[(Lnx)-1][(Lnx)-2]-Lnx}/{[(Lnx)-1][(Lnx)-2]}。
适合更大的数以内的素数个数的公式的B参数,B=更复杂的求解公式。
Liudan用4个精确度等级的计算公式:
试算出了10^22-1这个21位数内的素数个数的公式的解,
第一个公式:高3位精确,头8位数为21117412后还有11位数,
第二个公式:高4位精确,头8位数为21124268后还有11位数,
第三个公式:高6位精确,头8位数为21127240后还有11位数,
第四个公式:高7位精确,头8位数为21127266后还有11位数,
实际素数个数为头8位数为21127269后边还有11位数。
   Liudan的4个适合不同位数的精确的计算公式:
适合求8位数以内数的素数个数的公式：π(x)≈x/[Ln(x)-1]。
适合刚大于8位数的数以内的素数个数的公式：
π(x)≈x/{Ln(x)-Ln(x)/[Ln(x)-1]}。
适合远大于8位数的数以内的素数个数的公式：
π(x)≈x/{Ln(x)-{[Ln(x)-1][Ln(x)-2]+Ln(x)/{[Ln(x)-1][Ln(x)-2]}}。
适合充分大的数以内的素数个数的公式：
π(x)≈x/{Ln(x)-{{{{.......}}}}。
多参数套了又套，希望Liudan给些中间过程。
Liudan的贡献是具有历史意义的，值得深入探索。
   青岛 王新宇
   2011.3.13