素数分布数量的规律与概率计算

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素数分布数量的规律与概率计算
素数的定义是：不能被除了自身与1以外的自然数整除的自然数。
由爱拉托斯筛法可知素数的另一简便的判断方法为：x不能被小于或等于√x的全部素数整除即为素数；这是大多数人所知道的。
那么在一个自然数区间[2,x]内素数的数量能否进行计算呢？其分布有没有规律呢？分析如下：
把≤√x的所有素数记为2,3,5,...，r（r为最大）；依据爱拉托斯筛法，用这些素数就可以满足判断出自然数区间[2,x]内全部素数。
在自然数区间[2,x]内素数的分布概率分析：
在自然数中，不能被2整除的数的分布概率是1/2；
不能被3整除的数的分布概率是（1－1/3）；
不能被5整除的数的分布概率是（1－1/5）；
不能被7整除的数的分布概率是（1－1/7）；
……
不能被素数r整除的数的分布概率是（1－1/r）；
那么同时满足上面的这些条件的数的分布概率怎么样呢？
教科书关于概率事件独立事件的乘法原理——
事件的独立性的定义：
设有事件A与B，如果
            P(A*B)=P(A)*P(B)
那么我们就称事件A与B为互相独立。……
由事件独立性的定义，容易推得：不可能事件或必然事件与任何事件都相互独立；并且如果事件A与B互相独立，那么A 与B排相互独立，A 排与B相互独立，及A排 与B排也相互独立。（A排表示A上加一横，即事件A的对立事件，余同）……（211页）
上面仅讨论了两个事件的独立性,但是这个概念可推广到任意有限多个事件上去。
对于事件A1,A2,...,An，我们说它们是互相独立的，如果对于任何r（1≤r≤n）及
1≤i1＜i2＜...＜ir≤n（其中r，i1，i2，...，ir都是整数）有
P(Ai1*Ai2*...*Air)=P(Ai1)P(Ai2)...P(Air)。
显然，如果A1，A2，...，An相互独立，那么
P(A1*A2*...*An)=P(A1)P(A2)...P(An)。（212页）
——以上摘自《高等数学》（化、生、地类专业）第一册。书号：13012.096，人民教育出版社出版。上海师范大学数学系，中山大学数学力学系，上海师范学院数学系  合编
[另注：在原文中“A1,A2,...,An”的1,2,n 均为下标；“P(Ai1*Ai2*...*Air)”中的r（1≤r≤n），均为下标i的下标，Word中打不出，只好这样处理了]

在区间[2,x]内素数的分布概率分析：
独立事件的乘法法则的运用
对于自然数列 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,...里的任意数t，除以2,3,5,...，r这些有限的素数中的任意二个素数j，k时的余数ji、ki的同时发生的概率，显然具有相互独立的特性，即被t除时：
余数同时满足等于ji、ki的概率，有
            P(j*k)=P(j)*P(k)=(1/j)(1/k)
(2≤j，k≤r；j≠k；ji=0,1,2,...，j-1；ki=0,1,2,...，k-1)
由事件独立性的定义推得的“A排与B排也相互独立”的性质，由上面的概念推广可知，这个概念同样可推广到2,3,5,...，r这有限多个素数上去，在区间[2,x]内的数t分别除以这些素数时的余数同时满足不等于零的概率，有
P(t)=P(2*3*…*n*…*r)
    = P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
    =(1/2)*[(3-1)/3]*[(5-1)/5]*…*[(r-1)/r]；   
由概率的乘法原理推广可知：
在[2,x]内的全部x-1个整数中，素数数量的概率计算式为：
Sp(x)=(x-r)*P(t)+k；
     =(x-r)*(1/2)*(2/3)*(4/5)*…*［r-1］/r]+k ;
式中：k表示小于等于根号x 的素数的数量。
这里采用了区间（x-r）值作为计算区间，是因为[2,r]里面的k个素数已经分类计算了。
这样的概率计算数值的准确程度怎么样呢？与已有的数学家的观点作比较：
用什么样的规律来表达自然数中的素数呢？数学家高斯思索过这个问题，并预想过素数定理，即
当自然数x趋向无穷大时，有Lim[π(x) /(x/ln x)]= 1
对自然数x而言，π(x)是表示p≤x 的素数个数。
下面是1000万内的素数数量的分区概率计算与素数定理计算值的对比
素数数量的概率计算值与该区间里的实际上的素数数量π(x)之间的相对误差为：E=[Sp(x)-π(x)]/π(x)。
[素数定理的计算数量x / ln x用Gs(x)表示，其相对误差用E2 表示。]
π(X)——[2,x]内素数的实际个数。
Sp(x)—概率计算的值；  
E—概率计算Sp(x)的相对误差。
Gs(x)—高斯定理的计算值；  
E2-- Gs(x)的相对误差。
in [2, 1000 ]:     π(X)= 168       Sp(x)= 159.11    E=-.053    Gs(x)= 144.76    E2=-.138
in [2, 2000 ]:     π(X)= 303       Sp(x)= 291.34     E=-.038     Gs(x)= 263.13     E2=-.132
in [2, 3000 ]:     π(X)= 430       Sp(x)= 417.05     E=-.03      Gs(x)= 374.7      E2=-.129
in [2, 4000 ]:     π(X)= 550       Sp(x)= 536.32     E=-.025     Gs(x)= 482.27     E2=-.123
in [2, 5000 ]:     π(X)= 669       Sp(x)= 658.43     E=-.016     Gs(x)= 587.05     E2=-.122
in [2, 6000 ]:     π(X)= 783       Sp(x)= 768.08     E=-.019     Gs(x)= 689.69     E2=-.119
in [2, 7000 ]:     π(X)= 900       Sp(x)= 873.46     E=-.029     Gs(x)= 790.63     E2=-.122
in [2, 8000 ]:     π(X)= 1007      Sp(x)= 985.74     E=-.021     Gs(x)= 890.16     E2=-.116
in [2, 9000 ]:     π(X)= 1117      Sp(x)= 1107.32    E=-.009     Gs(x)= 988.47     E2=-.115
in [2, 10000 ]:    π(X)= 1229      Sp(x)= 1216.5     E=-.01      Gs(x)= 1085.74    E2=-.117
in [2, 20000 ]:    π(X)= 2262      Sp(x)= 2245.83    E=-.007     Gs(x)= 2019.49    E2=-.107
in [2, 30000 ]:    π(X)= 3245      Sp(x)= 3238.72    E=-.002     Gs(x)= 2910.09    E2=-.103
in [2, 40000 ]:    π(X)= 4203      Sp(x)= 4181.11    E=-.005     Gs(x)= 3774.78    E2=-.102
in [2, 50000 ]:    π(X)= 5133      Sp(x)= 5171.97    E= .008     Gs(x)= 4621.17    E2=-.1
in [2, 60000 ]:    π(X)= 6057      Sp(x)= 6074       E= .003     Gs(x)= 5453.5     E2=-.1
in [2, 70000 ]:    π(X)= 6935      Sp(x)= 7000.6     E= .009     Gs(x)= 6274.51    E2=-.095
in [2, 80000 ]:    π(X)= 7837      Sp(x)= 7883.55    E= .006     Gs(x)= 7086.05    E2=-.096
in [2, 90000 ]:    π(X)= 8713      Sp(x)= 8804.71    E= .011     Gs(x)= 7889.5     E2=-.095
in [2, 100000 ]:   π(X)= 9592      Sp(x)= 9686.73    E= .01      Gs(x)= 8685.89    E2=-.094
in [2, 200000 ]:   π(X)= 17984     Sp(x)= 18312.86   E= .018     Gs(x)= 16385.29   E2=-.089
in [2, 300000 ]:   π(X)= 25997     Sp(x)= 26628.83   E= .024     Gs(x)= 23787.74   E2=-.085
in [2, 400000 ]:   π(X)= 33860     Sp(x)= 34667.03   E= .024     Gs(x)= 31009.63   E2=-.084
in [2, 500000 ]:   π(X)= 41538     Sp(x)= 42615.18   E= .026     Gs(x)= 38102.89   E2=-.083
in [2, 600000 ]:   π(X)= 49098     Sp(x)= 50380.15   E= .026     Gs(x)= 45096.9    E2=-.081
in [2, 700000 ]:   π(X)= 56543     Sp(x)= 58193.57   E= .029     Gs(x)= 52010.44   E2=-.08
in [2, 800000 ]:   π(X)= 63951     Sp(x)= 65814.13   E= .029     Gs(x)= 58856.56   E2=-.08
in [2, 900000 ]:   π(X)= 71274     Sp(x)= 73476.84   E= .031     Gs(x)= 65644.8    E2=-.079
in [2, 1000000 ]:  π(X)= 78498     Sp(x)= 81052.53   E= .033     Gs(x)= 72382.41   E2=-.078
in [2, 2000000 ]:  π(X)= 148933    Sp(x)= 154670.5   E= .039     Gs(x)= 137848.7   E2=-.074
in [2, 3000000 ]:  π(X)= 216816    Sp(x)= 225223     E= .039     Gs(x)= 201151.6   E2=-.072
in [2, 4000000 ]:  π(X)= 283146    Sp(x)= 294842     E= .041     Gs(x)= 263126.7   E2=-.071
in [2, 5000000 ]:  π(X)= 348513    Sp(x)= 363658.8   E= .043     Gs(x)= 324150.2   E2=-.07
in [2, 6000000 ]:  π(X)= 412849    Sp(x)= 430445.9   E= .043     Gs(x)= 384436.2   E2=-.069
in [2, 7000000 ]:  π(X)= 476648    Sp(x)= 498431.1   E= .046     Gs(x)= 444122.4   E2=-.068
in [2, 8000000 ]:  π(X)= 539777    Sp(x)= 563802.4   E= .045     Gs(x)= 503304.4   E2=-.068
in [2, 9000000 ]:  π(X)= 602489    Sp(x)= 629911.8   E= .046     Gs(x)= 562052.6   E2=-.067
in [2, 10000000]:  π(X)= 664579    Sp(x)= 696241.3   E= .048     Gs(x)= 620420.7   E2=-.066

数据显示，在自然数x的不太大（受电脑与所用程序的运算能力限制，我只能计算到自然数x略大于1000万的范围）的情况下，素数数量的概率计算式比素数定理表述的误差要小得多；
从误差的变化趋势上，我并不怀疑当自然数x趋向无穷大时，π(x) = x / ln x的误差会会越来越小，因为数学家已经证明了。但至少在比较容易计算的自然数范围里(1千万以下)，概率计算的相对误差E的绝对值 要比素数定理计算的相对误差E2的绝对值要小得多，这是不争的事实。

因此可以得到结论：在自然数x的不太大的情况下，区间[2,x]内素数的分布规律与依据概率的乘法法则的计算结果比较接近。

ysr

欧拉乘积与您的概率原理相同吧?您的公式大于10万时,数值大于实际,算较好的上限公式,公式中K取何值?

愚工688

式中：k表示小于等于根号x 的素数的数量。