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【数论小题征解】三个质数之乘积是这三质数之和的11倍,求这三质数?
下面引用由trx在 2010/11/01 00:29pm 发表的内容:
三个质数之乘积是这三质数之和的11倍,求这三质数? 题 已知三个质数之乘积是这三质数之和的 11 倍,求这三质数。
解 设这三个质数是 x,y,z ,根据题意,有 xyz=11(x+y+z) 。
可以看出,x,y,z 中至少有一个是 11 的倍数,由于 x,y,z 是质数,所以,11 的倍数
只能是 11 本身,也就是说,x,y,z 中至少有一个是 11 ,不妨设 z=11 ,代入上式,就有
11xy=11(x+y+11) ,约去 11 ,则有 xy=x+y+11 ,xy-x-y+1=11+1 ,即有 (x-1)(y-1)=12 。
两个正整数 x-1 与 y-1 相乘等于 12 ,只有 3 种可能:3×4 ,2×6 ,1×12 。
当 x-1 与 y-1 为 3 ,4 时,x=4 ,y=5 ,其中有一个不是质数,不符合题意。
当 x-1 与 y-1 为 2 ,6 时,x=3 ,y=7 ,两个都是质数,符合题意。
当 x-1 与 y-1 为 1 ,12 时,x=2 ,y=13 ,两个也都是质数,也符合题意。
所以,要求的三个质数有两组解: 3 ,7 ,11 或 2 ,13 ,11 。 |
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