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一个定理的证明,看看大家是否有各种简洁证明
[这个贴子最后由申一言在 2009/11/20 09:52pm 第 2 次编辑]
证:
因为 N=an+b, n=1,2,3,,,,,,
当仅当 a=2,b=±1, 2n±1,是"自然数"数列,
而且 an+b≠2n,则 N1,N2,,,,Nn分别是等差为b的数列,
当n→∞,an+b→∞,所以 N→∞
由中华单位个数定理知:
N+12(√N-1) N≤10^3, An=8, 10^3<N<10^5, An~8.8-9
π(N)=------------, N<10^5, An~2(logN+1)
An N≥10^5, An=2.3logN-1.02121.
1.求10^3,10^4,,,10^10
10^3+12(√10^3-1) 1367
π(10^3)=------------------=-------170(实际168)
2(log10^3+1) 8
π(10^4)=1119(实际1229)
π(10^5)=9904(实际9592)
π(10^6)=79193(78498)
π(10^7)=665198(664579)
π(10^8)=5761048(5761455)
π(10^9)=50835389(5084748)
π(10^10)=455038491(455052513)
2.当N→∞时
N+12(√N-1)
limπ(N)=lim-------------, N→∞,由定义域知: MaxAn=√N-1
N→∞ An
N+12√N-12
=lim------------ 分母分子分别除以√N,
N→∞ √N-1
N/√N+12√N/√N-12/√N
=lim-----------------------
N→∞ √N/√N - 1/√N
√N+12-0 1
=lim----------- 因为lim---=0
1-0 X→∞ X
=√N+12→∞.
因为N→∞,所以√N→∞,即当N→∞时,π(an+b)=π(N)→∞.
证毕.
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