素数上界估计

小草 · 发表于 2024-10-4 09:21

素数上界估计

x=2^2时，因为√2^2=2.所以在2^2中筛去所有2的合数和自然数1,
g2^2=1.414 213 562^2=2，h2^2=1.414 213 562^2=2.
π(2^2)=4-2=2.

x=2^3时，因为√2^3=2.828 427 125..所以在2^3中筛去所有2的合数和自然数1,
g3^3=1.587 401 052^3=4.h3^3=1.587 401 052^3=4.
这时候:
g2^3=1.414 213 562^3=2.828 427 1,去掉小数=2.但是g(2^3)=4.
所以g(2^3)=2+2≈g2^3+b^3≈1.414 213 562^3+1.259 921 050^3=4.
π(2^3)<8-2.828 427 1=5.171 572 9.

x=2^4时，因为√2^4=4.所以在2^4中筛去所有2和3的合数和自然数1,
g4^4=1.778 279 410^4=10,h4^4=1.565 084 580^4=6.
这时候:
g3^4=1.587 401 052^4=6.349 604 2,去掉小数=6.但是g(2^4)=10.
所以g(2^4)=6+4≈g3^4+b^4≈1.587 401 052^4+1.414 213 562=10.
π(2^4)<16-6.349 604 2=9.650 396.

x=2^5时，因为√2^5=5.656 854 249.所以在2^5中筛去所有2,3,5的合数和自然数1,
g5^5=1.838 416 287^5=21,h5^5=1.615 394 266^5=11.
这时候:
g4^5=1.778 279 410^5=17.782 794 1,去掉小数=17,但是g(2^5)=21.
所以g(2^5)=17+4≈g4^5+b^5≈1.778 279 410^5+1.319 507 911=21.
π(2^5)<32-17.782 794 1=14.217 205 9.

x=2^6时,√2^6=8.所以在2^6中筛去所有2,3,5,7的合数和自然数1,
g6^6=1.892 894 046^6=46,h6^6=1.618 870 407^6=18,
这时候:
g5^6=1.838 416 287^6=38.606 742,去掉小数=38,但是g(2^6)=46.
所以g(2^6)=38+8≈g5^6+b^6≈1.838 416 287^6+1.414 213 562^6=46.
π(2^6)<64-38.606 742=25.393 258.

x=2^7时,√2^7=11.313 708 50.所以在2^7中筛去所有2,3,5,7,11的合数和自然数1,
g7^7=1.922 314 906^7=97,h7^7=1.633 246 253^7=31.
这时候:
g6^7=1.892 894 046^7=87.073 126,去掉小数=87,但是g(2^7)=97.
所以g(2^7)=87+10≈g6^7+b^7≈1.892 894 046^7+1.389 495 494^7=97.
π(2^7)<128-87.073 126=40.926 874.

x=2^8时,√2^8=16.所以在2^8中筛去所有2,3,5,7,11,13的合数和自然数1,
g8^8=1.941 640 942^8=202,h8^8=1.646 452 553^8=54.
这时候:
g7^8=1.922 314 906^8=186.464 55,去掉小数=186,但是g(2^8)=202.
所以g(2^8)=186+16≈g7^8+b^8≈1.922 314 906^8+1.414 213 562^8=202.
π(2^8)<256-186.464 55=69.535 45.

x=2^9时,√2^9=22.627 417 00.所以在2^9中筛去所有不大于19的合数和自然数1,
g9^9=1.953 863 559^9=415,h9^9=1.662 464 633^9=97
这时候:
g8^9=1.941 640 942^9=392.211 47,去掉小数=392,但是g(2^9)=415.
所以g(2^9)=392+23≈g8^9+b^9≈1.941 640 942^9+1.416 782 203^9=415.
π(2^9)<512-392.211 47=119.788 53

x=2^10时,√2^10=32.所以在2^10中筛去所有不大于31的合数和自然数1,
g10^10=1.963 559 019^10=852,h10^10=1.673 219 220^10=172.
这时候:
g9^10=1.953 863 559^10=810.853 38,去掉小数=810,但是g(2^10)=852
所以g(2^10)=810+42≈g9^10+b^10≈1.953 863 559^10+1.453 198 460^10=852
π(2^10)<2^10-810.853 38=213.146 62

x=2^11时,√2^11=53.366 656 26.所以在2^11中筛去所有不大于53的合数和自然数1,
g11^11=1.970 482 986^11=1739,h11^11=1.684 068 923^11=309
这时候:
g10^11=1.963 559 019^11=1672.9523,去掉小数=1672,但是g(2^11)=1739
所以g(2^11)=1672+67≈g10^11+b^11≈1.963 559 019^11+1.465 570 789^11=1739
π(2^11)<2^11-1672.9523=375.0477

x=2^12时,√2^12=64,所以在2^12中筛去所有不大于61的合数和自然数1,
g12^12=1.975 460 687^12=3532,h12^12=1.695 404 216^12=564
这时候:
g11^12=1.970 482 986^12=3426.6699,去掉小数=3426,但是g(2^12)=3532
所以g(2^12)=3426+106≈g11^12+b^12≈1.970 482 986^12+1.474 943 855^12=3532
π(2^12)<2^12-3426.6699=669.3301

x=2^13,√2^13=90.509 667 99,所以在2^13中筛去所有不大于89的合数和自然数1,
g13^13=1.979 476 859^13=7164,h13^13=1.704 871 999^13=1028
这时候:
g12^13=1.975 460 687^13=6977.327,去掉小数=6977,但是g(2^13)=7164
所以g(2^13)=6977+187≈g12^13+b^13≈1.975 460 687^13+1.495 398 865^13=7164
π(2^13)<2^13-6977.327=1214.673

x=2^14,√2^14=128,所以在2^14中筛去所有不大于127的合数和自然数1,
g14^14=1.982 468 624^14=14 484,h14^14=1.714 733 710^14=1900
这时候:
g13^14=1.979 476 859^14=14 180.972,去掉小数=14 180,但是g(2^14)=14 484
所以g(2^14)=14 180+304≈g13^14+b^14≈1.979 476 859^14+1.504 347 308=14 484
π(2^14)<2^14-14 180.972=2203.028

x=2^15,√2^15=181.019 336 0,所以在2^15中筛去所有不大于181的合数和自然数1,
g15^15=1.984 941 278^15=29 256,h15^15=1.723 337 350^15=3512
这时候:
g14^15=1.982 468 624^15=28 714.08,去掉小数=28 714,但是g(2^15)=29 256
所以g(2^15)=28 714+542≈g14^15+b^15≈1.982 468 624^15+1.521 481 300^15=29 256
π(2^15)<2^15-28 714.08=4053.92

x=2^16,√2^16=256,所以在2^16中筛去所有不大于251的合数和自然数1,
g16^16=1.986 897 623^16=58 994`,h16^16=1.731 736 891^16=6542
这时候:
g15^16=1.984 941 278^16=58 071.442,去掉小数=58 071,但是g(2^16)=58 994
所以g(2^16)=58 071+923≈g15^16+b^16≈1.984 941 278^16+1.532 234 040^16=58 994
π(2^16)<2^16-58 071.442=7464.558

x=2^17,√2^17=362.038 672 0,所以在2^17中筛去所有不大于359的合数和自然数1,
g17^17=1.988 488 710^17=118 821,h17^17=1.739 725 298^17=12251
这时候:
g16^17=1.986 897 623^17=117 215.04,去掉小数=117 215,但是g(2^17)=118 821
所以g(2^17)=58 071+923≈g16^17+b^17≈1.986 897 623^17+1.532 234 040^17=118 821
π(2^17)<2^17-117 215.04=13 856.96

x=2^18,√2^18=512,所以在2^18中筛去所有不大于509的合数和自然数1,
g18^18=1.989 822 861^18=239 144,h18^18=1.747 101 808^18=23000
这时候:
g17^18=1.988 488 710^18=236 274.22,去掉小数=236 274,但是g(2^18)=239 144
所以g(2^18)=236 274+2870≈g17^18+b^18≈1.988 488 710^18+1.556 340 252^18=
239 144
π(2^18)<2^18-236 274.22=25 869.78

x=2^19,√2^19=724.077 343 9,所以在2^19中筛去所有不大于719的合数和自然数1,
g19^19=1.990 927 381^19=480 898,h19^19=1.754 175 898^19=43390
这时候:
g18^19=1.989 822 861^19=475 854.20,去掉小数=475 854,但是g(2^19)=480 898
所以g(2^19)=475 854+5044≈g18^19+b^19≈1.989 822 861^19+1.566 328 676^19=
480 898
π(2^19)<2^19-475 854.20=48 433.80

x=2^20,√2^20=1024,所以在2^20中筛去所有不大于1021的合数和自然数1,
g20^20=1.991 871 138^20=966 551,h20^20=1.760 748 439^20=82025
这时候:
g19^20=1.990 927 381^20=957 433.0,去掉小数=957 433,但是g(2^20)=966 551
所以g(2^20)=957 433+9118≈g19^20+b^20≈1.990 927 381^20+1.577 593 032^20=
966 551
π(2^20)<2^20-957 433.0=91 143

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