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推广毕达哥拉斯定理——De Gua's theorem

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发表于 2024-7-10 19:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
推广毕达哥拉斯定理——De Gua's theorem

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 06 月 09 日 08:00 陕西



最近看到一个很有意思的定理,它是这样说的:



这当然可以看作是勾股定理的三维推广了,不仅如此它还有更抽象的版本,如果你稍微懂一点几何测度论,可能看过下面这个更抽象的版本:



这些内容实际上是一个有名的定理叫做 De Gua's theorem,我把相关的材料放在下面的截图中,感兴趣的可以自行去百科界面查看。



在这期推送中我们采用三种不同的方法来证明这个定理的三维情况,为了便于理解,再一次的明确我们的目标:





奇妙的是。第一种思路我们可以通过海伦公式来证明,因为海伦公式是针对二维平面的,所以我们首先将金字塔展开成二维图:



这里要注意到相邻的边必须是相等的,要不然我们的金字塔是没有办法折叠到同一点的,如果我们将外侧边称为 x 、y 和 z(成对),将内底边称为 a 、b 和 c ,那么我们就可以使用海伦公式,该公式可以根据三条边的长度来计算三角形的面积。



如果用 ( a + b + c ) 的一半代替 s ,我们就可以用 a 、b 和 c 重写整个面积表达式。由于我们感兴趣的是面积的平方,所以我们可以去掉平方根。而当我们展开括号里的项时,大多数项都会消失,只剩下六项。



然后图中有一些直角三角形,我们可以使用勾股定理将 a 、b 和 c 替换为 x 、y 和 z 的表达式。然后通过代数运算,这里需要大量的蛮力和耐心,你可以再次消掉大部分项,剩下的就是三个三角形面积的平方和。



这里我们并没有展示所有的细节,要不然就会显得很繁琐。如果你懂一点向量分析的技巧,我们也可以利用向量来证明,尽管也相当繁琐,但起码我们可以把细节完全展示出来,这里主要的工具就是向量的叉积,或者说外积,具体来说,三维空间中两个向量的叉积。例如,a 和 b 的叉积给出第三个向量,该向量与 a 和 b 都垂直。叉积的大小是向量 a 的大小乘以向量 b 的大小乘以它们之间角度的正弦,这意味着向量 a 和 b 所张成的三角形的面积是叉积大小的一半。



这些性质对于这个问题非常有用,因为如果我们将金字塔中的这三个向量标记为 a ,b 和 c ,它们都是彼此垂直的。



另外,底面三角形的面积将是 ( c - b ) × ( a - b ) 叉积的一半。我们感兴趣的是 D^2 ,因此我们取它的平方。



我们可以展开这些括号来得到四个叉积。但是最后一个( b × b )只会给出零(b 和 b 之间夹角的正弦为 0 )。接下来,我们使用标量积或者叫内积。这里特别有用的是,如果你将一个向量与其自身相乘,最终会得到该向量长度的平方。



我们对 D^2 的表达式是长度的平方,因此我们可以将其重写为向量与自身的标量积。



为了展开这个标量积,我们会得到九个项,但它们中的大多数将为零,因为两个垂直向量的内积始终为零。例如, ( a × c ) 与 a 和 c 都垂直,这意味着它与 b 平行,而 ( b × a ) 则与 b 垂直。因此标量积 ( a × c )·( b × a ) 将为零。



9 个项中的 6 个发生了类似的情况,剩下的就只是三个向量与自身的标量积的项。



同样,我们可以将它们写成向量长度的平方,这几乎可以让我们得到这个结果,因为例如 | a × c | = | a | × | c | (因为 a 和 c 垂直)。将 1/4 作为 1/2 的平方乘以 3 个平方项中的每一个,我们就得到了三个三角形面积 A 、B 和 C 的平方和。



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好了,如果我们借助解析几何的做法,同样能够做一些事情,不过首先要建立起坐标系,使得直角位于三维轴的原点上。



现在无论三角形 D 的具体位置,我们都可以使用三维空间中的平面方程来表示它:ax + by + cz = 1 。轴截距为 x = 1/a 、y = 1/b 和 z = 1/c 。现在我们使用金字塔(锥体)体积的方程,即 1/3 底面积乘以高度,并通过依次取每个三角形作为底面,我们就有用四种不同的方式写出这个体积。



不过我们还不知道从三角形 D 到原点的垂直距离。我们暂且记这个距离为 h ,我们可以用 D 、h 、a 、b 和 c 来表示 A 、B 和 C 。



为了找到垂直高度 h ,我们要利用平面方程 ax + by + cz = 1 具有法向向量 n =[ a ,b ,c ] 这个事实,法向量意味着该向量垂直于平面。如果我们从原点出发,沿着这个法向量移动,那么无论我们到达哪里,一定都有坐标 ( ka , kb , kc ) 。如果我们将这些坐标代入平面方程,我们就能解出 k ,从而解出长度 h :



h 的长度,即 k 乘以法线向量 [ a ,b ,c ] 的长度。所以 h = 1 / √( a^2 + b^2 + c^2 )。一旦我们将其代入 (D h )^2 的表达式中,它就会抵消 ( a^2 + b^2 + c^2 )。我们只剩下右边的 D^2 和左边的 A^2 + B^2 + C^2 。



这样定理就完成了证明,无论你掌握了哪种程度的数学知识,都有机会去证明定理,这也是数学最公平的地方,希望你能喜欢。





围城里的猫

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