第二次数学危机

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第二次数学危机

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 06 月 11 日 12：38 浙江

正当欧洲大陆为微积分的发明欢呼时，一场数学危机也在悄悄酝酿。

微积分的主要原理是：将曲线无限细分，每一段都成为无穷小，然后将这无穷多个无穷小累加起来，就能计算原来无法计算的曲线问题。

那么问题来了：无穷小是多小？

这就是对微积分的质疑，最有代表性的来自于一位名叫乔治·贝克莱（George Berkeley）的哲学家与神学家。



他专门写了一本书，书名超长《分析学家：或致一位不信神的数学家（其中检测了现代分析学的对象、原理和推论是否比宗教信仰更可靠）》，简称《分析学家》，全书 104 页，全都在质疑微积分，尤其是像无穷小这些概念的模糊混乱，前后矛盾。



比如：在求导过程中，前一刻还将无穷小当成一个非零的数，作为除数；下一刻就将它当做零，在加法中可以随意抹去。



那么“无穷小究竟是否为 0 ”，就成了一个悖论，又称“贝克莱悖论”。

贝克莱的本意是为神学辩解，为了证明数学没那么严密，微积分对数学家来说也是一种信仰，既然如此，哪又何必对宗教的严密性如此苛求。

这位数学外行的质疑，一针见血，直指微积分理论的基础，还引发了第二次数学危机。

数学家们前仆后继，花了 150 年，由柯西、魏尔斯特拉斯、康托尔和戴德金等人，终于将漏洞补上。

柯西认为：无穷小压根就不是一个固定的数，它不是零，而是一个极限为零的变量。



他看出微积分基础之所以混乱，核心问题在于一直没有准确定义极限，于是他就下了一个定义。

“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限”。

研究对象是常量还是变量，就是微积分发明之前与之后数学的最大区别。

因为无穷小是一个不等于零的变量，所以当除数没有问题。而最终值是取这个变量的极限，而它的极限却是固定值 0 ，所以最终结果中抹去也没有问题。

把极限当作变量与常量之间的桥梁，算是解决了贝克莱悖论，但又产生了个新问题：什么叫要多小就有多小。

柯西说，就是比你给定的任意值都要小。

这个问题被时任乡村中学老师的魏尔斯特拉斯注意到，他发现这个解释有些随意。可能是教书的习惯让他明白，定义不清晰，后期会让学生陷入巨大的困惑。



后来成为欧洲最受欢迎数学老师的他，发明了一套“ε-δ 语言”（epsilon-delta 语言）。

比如：你给定任意小的一个值 ε＞0 ，都能通过一番数学推演，找到一个对应的 δ＞0 ，使得变量和某个固定值的差比 ε 更小，那就证明了那个固定值就是要找的极限。



这套语言，让数学分析的基础逻辑严谨，不再依赖于表述。

之后，数学家们更进一步，既然要确保能找到极限，数本身还得足够稠密。那么数是否稠密，数是否连续，以及数的产生是否逻辑严谨，都成了问题。

在康托尔、戴德金和皮亚诺等人的努力下，数学家们顺带着将数系的基础也给夯实了。



至此，由贝克莱引发的第二次数学危机宣告彻底解决。在微积分创建 200 年之后，数学家们迎来了重大胜利。贝克莱虽然并非数学家，但他给数学带来的理性质疑，却意义深远。

《数学悖论与三次数学危机》一书，通过三次著名的数学危机，引出了数学的历史，将来龙去脉讲述得非常细致，还深入浅出地介绍了关键的技术细节，让人能更真实地感受数学的魅力。全书脉络清晰，悬念丛生，让人忍不住一口气读完。



蔡爸谈数学