丘成桐：卡拉比猜想证明是构造爱因斯坦方程解的一种方法

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丘成桐：卡拉比猜想证明是构造爱因斯坦方程解的一种方法

来源：狄拉克乐园 2024 年 05 月 08 日 01:00 天津



在哈佛期间，我受到了物理系许多同事的很多影响，花费了不少功夫研究弦理论和代数几何的相关问题。我还成为了物理系的一员，这令我十分自豪。物理学家往往会提出令数学家倍感新奇的新概念，反之亦然。这着实令人着迷。物理学家喜欢迅速跨步前进，希望早日达成目标，但他们却很少能够给出让数学家们信服的证明，量子场理论中的许多观点尤其如此。

最令人惊讶的是，一旦优秀物理学家的陈述被转化为数学语言，数学家们能够对这些陈述中的大部分提供证明。这验证了他们的物理直觉，说明他们的理论离真相并不遥远。这一点很重要，因为弦理论中的许多陈述远远超出了当前的实验能力和水平。

1976 年，我证明了卡拉比猜想，我认为这是构造爱因斯坦方程解的一种方法：



卡拉比猜想的证明解决了许多代数几何这一领域中多年来悬而未决的重要问题。数学界为之一振，它的证明也被视作是现代几何分析的开端。

当时, 我专注于完善卡拉比猜想在各种情况下的表述，包括非紧流形和奇异流形。其中的一些成果在赫尔辛基举办的国际数学家大会上公布。1979 年，我应邀组织普林斯顿高等研究院的几何特别年。我邀请了一些物理学家参加，其中大多数是斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）的学生。

彼时，卡拉比猜想已经广为人知。许多人想构造真空爱因斯坦方程的显式解，这些解是由卡拉比猜想所暗示的。吉本斯（Gary Gibbons）和霍金使用所谓的“威克旋转（Wick Rotation）”找到了这样的度量。卡拉比构建了一个公式来提供显式解。遗憾的是，他们只能得出这种流形的非紧版本。

我开始对如何在物理中运用这些紧里奇平坦流形产生了兴趣。1980 年，我成为了普林斯顿高等研究院的教授。那里有一大批优秀的年轻博士后，包括安迪·施特罗明格（Andy Strominger）、加里·霍洛维茨（Gary Horowitz）和马尔科姆·佩里（Malcom Perry）。霍洛维茨是我的助手，他告诉我有位来自麻省理工学院的杰出年轻人，叫安迪·施特罗明格，非常了解超引力，如果能从他那里学到更多关于超对称的知识，将是一件很棒的事情。我很好奇，于是我们邀请安迪在我的几何研讨会上作报告，之后我们共进了晚餐。

我问他们，这些具有零里奇曲率的紧凯勒流形是否可以用于物理学，得到的回答是否定的。但这些我费心构建的优雅的几何结构，怎么可能不被大自然认可呢？我想我会等到比他们两位思想更加开放包容的物理学家。

1984 年，我去圣地亚哥探亲，前往我妻子的办公室，窗外就是蔚蓝的大海。我打电话给我的秘书安德伍德女士，询问普林斯顿高等研究院那边是否有事情需要处理。她告诉我，有两位年轻人正到处找我。于是我打电话给安迪，他迫切地希望知道我在 1981 年告诉他的事儿是否属实。他详细说明了他需要的流形的条件。当我确认那正是我所发现的条件时，他兴奋不已。

很快，我又接到了加里·霍洛维茨和爱德华·威滕（Edward Witten）的电话。威滕刚刚被普林斯顿高等研究院聘用，不久前他刚刚给出了正质量猜想的新证明。他想知道有多少这样的流形存在？我告诉他，据我所知大概有三个，但可能还有更多。他激动得第二天就飞到了圣地亚哥。我们聊了一整天，我向他解释了许多这样流形的不同构造。当他离开时，他告诉我，这几天的美好时光让他联想到了量子力学初创时情景。当创造崭新的学科时，任何贡献都将被载入史册。

四位伟大的物理学家（坎德拉斯、霍洛维茨、施特罗明格和威滕）共同撰写了一篇开创性的论文，为弦理论构建了一个美丽的模型。他们将该模型中的流形称为卡拉比-丘流形。我非常感谢他们赋予我这一荣誉。一段时间之后，我觉得仿佛卡拉比已经成为了我的名字，当然这也意味着，这个模型取得了巨大的成功。

可以公平地说，如果没有弦论学家的工作，我们对卡拉比-丘流形的理解会大打折扣，它恰恰是代数几何中非常重要的一类流形。另一方面，如果没有数学家的参与，弦论学家也不会如此信心满满的推进这个崭新的理论。

原文链接：丘成桐：数学的万有引力

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