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发表于 2024-4-17 12:21
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本帖最后由 yangchuanju 于 2024-4-17 17:24 编辑
对于不定方程(a^2+3)/(p1*p2*p3)=c,在p1*p2*p3范围内有8个整数解的证明
不定方程中的a,c是大于等于1的正整数,p1,p2,p3是模6余1的素数;现以p1=7,p2=13,p3=19证明之,7*13*19=1729。
对于不定方程(a^2+3)/7=c,在7以内共有2个整数解,相加等于7,7的2个整数解可能位于16,25或34位;在91以内共有2*13=26个整数解,在1729以内共有2*13*19=494个整数解;
对于不定方程(a^2+3)/13=c,在13以内共有2个整数解,相加等于13,13的2个整数解可能位于1c,2b,3a,49,58或67位;在91以内共有2*7=14个整数解,在1729以内共有2*7*19=266个整数解;
(整数解位号中的abcdef……分别表示第10,11,12,13,14,15……位,下同)
对于不定方程(a^2+3)/91=c,在91以内共有4个整数解,相加等于91;必须在7和13的共同有解位。
对7的3种整数解位和13的6种整数解位两两组合(排列)共18种排列方式;
对p1有(p1-1)/2种解位,对p2有(p2-1)/2种解位,各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2种排列方式;
经统计每种排列方式之中都有4个共同解,即不论两个素数的单个整数解如何排列,都有4个整数解。
对于不定方程(a^2+3)/19=c,在19以内共有2个整数解,相加等于19,19的2个整数解可能位于1i,2h,3g,4f,5e,6d,7c,8b或9a位;在1729以内共有2*91=182个整数解;
对于不定方程(a^2+3)/1729=c,在1729以内共有8个整数解,相加等于1729;必须在91和19的共同有解位。
对7的3种整数解位、13的6种整数解位和19的9种整数解位两两组合(排列)共18*9=162种排列方式;
对p1有(p1-1)/2种解位,对p2有(p2-1)/2种解位,对p3有(p3-1)/2种解位,各种解位两两组合共(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列方式;
经统计每种排列方式之中都有8个共同解,即不论三个素数的单个整数解如何排列,都有8个整数解。
由于三个素因子两两互素,每种排列都会有8个共同整数解;
任意排列共有(p1-1)/2*(p2-1)/2*(p3-1)/2种排列,实际上对于特定的三个素数只要一种特定的排列,
对于这一个特定排列也一定有8个整数解!
类似的可以证明,当分母是素因子各不相同的二合数、四合数、五合数、六合数……n合数时,分别有4,16,32,64……2^n个整数解。
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