\(a\)取值小于\(2^k-1\)最多2个整数解，判断\(2^k-1＝p\)是素数

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(a\)取值小于\(2^k-1\)最多2个整数解，\(2^k-1＞a\)
\(2^k-1\)范围内最多2个整数解
结论:\(2^k-1＝p\)

太阳

\(a\)取值小于\(2^k-1\)最多2个整数解，数学软件验证2个整数解，梅森素数
\(2^3-1\)，\(2^7-1\)，\(2^{13}-1\)，\(2^{17}-1\)，\(2^{19}-1\)，\(2^{31}-1\)，\(2^{61}-1\)，\(2^{89}-1\)
\(2^{107}-1\)，\(2^{127}-1\)，\(2^{521}-1\)，\(2^{607}-1\)，\(2^{1279}-1\)，\(2^{2203}-1\)，\(2^{2281}-1\)

太阳

\(2^k-1\)范围内最少3个整数解，数学软件验证4个整数解
\(2^{37}-1\)，\(2^{67}-1\)，\(2^{101}-1\)，\(2^{103}-1\)，\(2^{269}-1\)，\(2^{271}-1\)
\(2^{373}-1\)，\(2^{379}-1\)，\(2^{457}-1\)，\(2^{881}-1\)，\(2^{1603}-1\)

yangchuanju

假定我们并不知道487是不是素数，更不知道2^487-1是不是素数，只知道(a^2+3)/(2^487-1)没有整数解，当然在2^487-1以内也没有整数解，请问您如何判断2^487-1是不是素数？

yangchuanju

假定我们并不知道2047是不是素数，更不知道2^2047-1是不是素数，只知道(a^2+3)/(2^2047-1)没有整数解，当然在2^2047-1以内也没有整数解，请问您如何判断2^2047-1是不是素数？

能整除且整数解不超过2个的就是素数，本例不能整除就不是素数，对吗？

太阳

yangchuanju 发表于 2024-4-14 13:52
假定我们并不知道2047是不是素数，更不知道2^2047-1是不是素数，只知道(a^2+3)/(2^2047-1)没有整数解，当然 ...

确定指数\(k\)是素数，\(2^{2047}-1\)，2047是合数，有没有整数解，判断\(2^{2047}-1\)是合数
\(\frac{a^2+3}{c}＝2^{257}-1\)，\(2^{257}-1\)范围内没有整数解，无法判断\(2^{257}-1\)是不是素数
\(\frac{a^2+3}{c}＝2^{607}-1\)，\(2^{607}-1\)范围内最多2个整数解，判断\(2^{607}-1\)是素数
个人观点\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(k\)取素数，\(2^k-1\)范围内没有整数解，\(2^k-1\)是合数

yangchuanju

太阳 发表于 2024-4-14 15:45
确定指数\(k\)是素数，\(2^{2047}-1\)，2047是合数，有没有整数解，判断\(2^{2047}-1\)是合数
\(\frac ...

2^257-1<78> = 535006138814359<15> · 1155685395246619182673033<25> · 374550598501810936581776630096313181393<39>
2^257-1是一个三因子合数，3个素因子都是模6余1的，在2^257-1以内应该有多个整数解，再找找看！

太阳

数学软件，没有找到正数解，2^257-1范围内没有找到整数解，有可能没有整数解，有没有整数解无法确定？

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(2^k-1\)范围内最多2个整数解，\(2^k-1＞a\)
结论:\(2^k-1＝p\)
\(2^k-1\)范围内最多2个整数解，数学软件验证2个整数解，梅森素数
\(2^3-1\)，\(2^7-1\)，\(2^{13}-1\)，\(2^{17}-1\)，\(2^{19}-1\)，\(2^{31}-1\)，\(2^{61}-1\)，\(2^{89}-1\)
\(2^{107}-1\)，\(2^{127}-1\)，\(2^{521}-1\)，\(2^{607}-1\)，\(2^{1279}-1\)，\(2^{2203}-1\)，\(2^{2281}-1\)
\(2^k-1\)范围内最少3个整数解，数学软件验证4个整数解
\(2^{37}-1\)，\(2^{67}-1\)，\(2^{101}-1\)，\(2^{103}-1\)，\(2^{269}-1\)，\(2^{271}-1\)
\(2^{373}-1\)，\(2^{379}-1\)，\(2^{457}-1\)，\(2^{881}-1\)，\(2^{1603}-1\)

太阳

(20971429078308381894888084611979890129203248951164753254377683912370890948295752862892816501427978100972476135985363065540243044644866256229950619147618285911374101310090093301828064866183628033218333551737058218844900691508467658341724052877819630633862296881209753772604282131802598887923219566660088764892033860787921^2+3)/(2^1063-1)＝4450109130008665410217176247875848340518813480686622962627279594916714463167708696361217534494009151245135159970475990081611591609939542935567159253336977548013344150981487977663216502488753420827908320060063575017374061214742624164594388133097349703891678041920398939262834188724495162611509951042129959256250462624092


(35448934174406292464345215533927956456304522965778649359431634991066624832830561304495163817872610757523384254867807205619862970686658174085155140563228855644981904679980579580965207812965146208352313945339739737810660136705842154581886733654830607172287572593890078543374070267845708404131408645116570933803194421741724^2+3)/(2^1063-1)＝12715134930499767815594687792269014462870158702205422455577568130654312715585342113784582906203988785041553110792455843743407143851308564134328345916407218776926982934556892701870250971062253306769399597956832936114030483944214922575481403633878752943547980855736757477119347913494670363945892540962388900460910436802797


(63380291073303970403084152981168384876486809926868869369524106233264595659354666670094867286344735187392181108568136110488442076864998797041316246126584869902634025142561589054028399482978807083268666366414530315198132579810121077165234045470735582447248587812535101902101229837247310410412696583714486811952522248714083^2+3)/(2^1063-1)＝40646491829397445754333625239509442883052445663295642465670039372852283542109447479384286374676113214910349964492784748611986250029649187090489451479763233034579103397137902174933442641075914181685752019031623513501502927048493845158828715449783728218508996074381780835846507482896272370227180479560304778610238263775156


(77857796169401880972541283903116451203588083941482765474578057311960329543889475111697214602789367843943089227450580250568062002906790714896520767542195439636241828512452075333165542429760325258402646760017211834163892025007495573405396726247746558985673863525215426672871017973290419926620885662170968980863682809667886^2+3)/(2^1063-1)＝61336476221102164487870375539012409414903648471004635182827652994506153058761430945165615635855398894215748251435693175109430549871864001602137307647914131272881071353343470009000694066065450646012221528340217190336365394713770539228267061503024278055703244685926071839529570030212316201309176046553010175227899411504057