素数公式:2^k-1

太阳

太阳

\(k＞13\)，试证：\(4\times2^k－7\)，没有整数平方根，梅森素数是无限多，此命题是假命题

太阳

3，5，11，181，找到4个例，没有找到第5个例

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yangchuanju

太阳先生还在念念不忘他的素数公式
(a^2+3)/4=2^k-1
这是因为太阳先生在它其中“花费了多年心血”！

已经查明
对于代数式a^2+3，当底数a是奇数时，(2k+1)^2+3=4k^2+4k+1=3=4*(k^2+k+1)都是4的倍数；
当底数a是偶数时，代数式a^2+3都不是4的倍数，其中有相当多的素数。
因为太阳公式左部代数式是(a^2+3)/4，要使它为整数，底数a只能是奇数。
不论底数a是奇还是偶，a^2+3之中只有素因子2,3,7,13,19,31,37,43,61,67,73,79,97等，除2和3以外，都是模6余1的，之中没有模6余5的素因子5,11,17,23,29,41,47,53,59,71,83,89等。
若代数式(a^2+3)/4是含有素因子3的合数（底数是3的倍数时），除去素因子3或3的某次幂数后的素因子或复合因子都是模6余1的；
若代数式(a^2+3)/4不含有素因子3，它自身或它的素因子或复合因子也都是模6余1的；
因模6余1的各个因子相乘，所得复合因子(6m+1)*(6n+1)=36mn+6m+6n+1也都是模6余1的。

底数a        (a^2+3)/4        分解式
1        1        1
3        3        3
5        7        7
7        13        13
9        21        3*7
11        31        31
13        43        43
15        57        3*19
17        73        73
19        91        7*13
21        111        3*37
23        133        7*19
25        157        157
27        183        3*61
29        211        211
31        241        241
33        273        3*7*13
35        307        307
37        343        7*7*7
39        381        3*127