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一题 \(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\) 多解

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发表于 2024-2-20 21:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
求:\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用:\(2^0+2^0+2^1=2^2\),

得:\(2^{0+a}+2^{0+a}+2^{1+a}=2^{2+a}\)

解指数方程,
注:为了方便,同一字母k,代表:不同的数字,
0+a=131k ,  0+a=137k ,  1+a=139k ,  2+a=149k ,
0+a=131*137k ,               1+a=139k ,  2+a=149k ,

故,a=219994326 ,   

解:\((2^{1679346})^{131}+(2^{1605798})^{137}+(2^{1582693})^{139}=(2^{1476472})^{149}\)


 楼主| 发表于 2024-2-20 21:26 | 显示全部楼层
求:\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用:\(1^t+2^2+2^2=3^2\),

得:\(2^a*3^b+2^{a+2}*3^b+2^{a+2}*3^b=2^a*3^{b+2}\)

解指数方程,
注:为了方便,同一字母k,代表:不同的数字,
a=131k ,                  b=131k ,   
a+2=137k ,              b=137k ,   
a+2=139k ,              b=139k ,   
a=149k ,                  b+2=149k ,     
a=131*149k ,           b=131*137*139k ,
a+2=137*139k ,      b+2=149k ,

故,a=248320718 ,  b=361721785 ,

解:\((2^{1895578}*3^{2761235})^{131}+(2^{1812560}*3^{2640305})^{137}+(2^{1786480}*3^{2602315})^{139}=(2^{1666582}*3^{2427663})^{149}\)


用:\(1^r+1^t+5^2=3^3\),

得:\(3^a*5^b+3^a*5^b+3^a*5^{b+2}=3^{a+3}*5^b\) ,

解指数方程,
注:为了方便,同一字母k,代表:不同的数字,
a=131k ,                   b=131k ,   
a=137k ,                   b=137k ,     
a=139k ,                   b+2=139k ,  
a+3=149k ,               b=149k ,   
a=131*137*139k ,    b=131*137*149k ,
a+3=149k ,              b+2=139k ,   

故,a=356732519 ,  b=88245399 ,   

解:\((3^{2723149}*5^{673629})^{131}+(3^{2603887}*5^{644127})^{137}+(3^{2566421}*5^{634859})^{139}=(3^{2394178}*5^{592251})^{149}\)


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 楼主| 发表于 2024-2-20 21:33 | 显示全部楼层
求 勾股方程 \((x^{15})^2+(y^{8})^2=(z^{17})^2\)

由 \((2^{0}*3^{1}*5^{0})^2+(2^{2}*3^{0}*5^{0})^2=(2^{0}*3^{0}*5^{1})^2\)

得 \((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程,
注:为了方便,同一字母k,代表:不同的数字,
0+a=15k ,     1+b=15k ,     0+c=15k ,
2+a=8k ,       0+b=8k ,       0+c=8k ,
0+a=17k ,     0+b=17k ,     1+c=17k ,
0+a=255k ,   0+b=136k ,   0+c=120k ,
2+a=8k ,       1+b=15k ,     1+c=17k ,

故,a=510 ,   b=1904 ,       c=1920 ,


解:\((2^{510}*3^{1905}*5^{1920})^2+(2^{512}*3^{1904}*5^{1920})^2=(2^{510}*3^{1904}*5^{1921})^2\)

即:\(((2^{34}*3^{127}*5^{128})^{15})^2+((2^{64}*3^{238}*5^{240})^{8})^2=((2^{30}*3^{112}*5^{113})^{17})^2\)


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 楼主| 发表于 2024-2-20 22:21 | 显示全部楼层
求:\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用:\(3^0+3^0+3^0=3^1\),

得:\(3^{0+a}+3^{0+a}+3^{0+a}=3^{1+a}\)

解指数方程,
注:为了方便,同一字母k,代表:不同的数字,
0+a=131*137*139*k ,    1+a=149*k ,   

故,a=366711051 ,

解:\((3^{2799321})^{131}+(3^{2676723})^{137}+(3^{2638209})^{139}=(3^{2461148})^{149}\)



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 楼主| 发表于 2024-2-21 18:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-2-25 11:41 编辑

鲁氏求一解法,不是大衍求一术

恒等式:\(2^n+2^n=2^{n+1}\)

恒等式:\(2^n+2^n+2^{n+1}=2^{n+2}\)

求:\(x^{n+1}+y^{n+1}=z^{n}\)

解:\((2^{n-1})^{n+1}+(2^{n-1})^{n+1}=(2^{n})^{n}\)

求:\(x^n+y^{n+1}=z^n\)

解:\((a^n-1)^n+(a^n-1)^{n+1}=(a*(a^n-1))^n\),\(a > 1\) .

求:\(x^{n+1}+y^n=z^{n+1}\)

解:\((a^{n^2-1}-1)^{n+1}+(a^{n^2-1}-1)^n=(a*(a^{n^2-1}-1))^{n+1}\),\(a > 1\) .

求:\(x^{2n}+y^{2n+1}=z^{2n+2}\)

解:\(((a^{2n+2}-1)^{2n+2})^{2n}+((a^{2n+2}-1)^{2n+1})^{2n+1}=(a*(a^{2n+2}-1)^{2n})^{2n+2}\),\(a > 1\) .

求:\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

解:\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)


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 楼主| 发表于 2024-2-21 18:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-2-25 13:32 编辑

最新发现,

若 2n+1,  u ,  w  两两互质,

则 \(x^{2n+1}+y^{2u}=z^{2w}\) 必有解。
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 楼主| 发表于 2024-2-21 18:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-2-25 13:34 编辑

由:49,5,24 两两互质,

求:\(x^{49}+y^{10}=z^{48}\)

用:\(x^{98}+y^{10}=z^{48}\)

用:\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程,
注:为了方便,同一字母k,代表:不同的数字,
0+a=49k ,        1+b=49k ,        0+c=49k ,
2+a=5k ,          0+b=5k ,          0+c=5k ,   
0+a=24k ,        0+b=24k ,        1+c=24k ,
0+a=1176k ,    0+b=120k ,      0+c=245k ,
2+a=5k ,          1+b=49k ,        1+c=24k ,

故,a=3528 ,    b=2400 ,          c=4655 ,

解:\((2^{3528}*3^{2401}*5^{4655})^2+(2^{3530}*3^{2400}*5^{4655})^2=(2^{3528}*3^{2400}*5^{4656})^2\)

即:\((2^{72}*3^{49}*5^{95})^{98}+(2^{706}*3^{480}*5^{931})^{10}=(2^{147}*3^{100}*5^{194})^{48}\)


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 楼主| 发表于 2024-2-22 20:54 | 显示全部楼层
求:\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用:\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得:\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

设:2n+1=131*137*139*k , 且 (2+131*137*139*k) 能被 149 整除,

得:2n+1=361721785 , 2n+3=361721787 , n+1=180860893 ,

解:\((2^{180860893*361721786})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}\)

\[=(2^{(180860893*361721785*361721786+1)/361721787})^{361721787}\]

即:\((2^{180860893*361721786*2761235})^{131}+(2^{180860893*361721785*2640305})^{137}+(2^{180860893*361721785*2602315})^{139}\)

\[=(2^{65421324871793113*2427663})^{149}\]


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 楼主| 发表于 2024-2-24 13:48 | 显示全部楼层
求:\(x^{14}+y^{52}=z^{23}\) 易解,可以三项的底数都是2,

但,\(x^{14}+y^{23}=z^{52}\) 难解,不可能三项的底数都是2,

用:\(x^{14}+y^{46}=z^{52}\) ,

用:\(15^2+20^2=5^4\) ,

用:\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{1+c})^{2}+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^{2}=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{4+c})^{2}\)

解指数方程,
注:为了方便,同一字母k,代表:不同的数字,
0+a=7k ,         1+b=7k ,          1+c=7k ,  
2+a=23k ,       0+b=23k ,        1+c=23k ,  
0+a=26k ,       0+b=26k ,        4+c=26k ,  
0+a=182k ,     0+b=598k ,      1+c=161k ,  
2+a=23k ,       1+b=7k ,          4+c=26k ,  

故,a=182 ,     b=1196 ,       c=2414 ,  

解:\((2^{182}*3^{1197}*5^{2415})^{2}+(2^{184}*3^{1196}*5^{2415})^{2}=(2^{182}*3^{1196}*5^{2418})^{2}\)

即:\((2^{26}*3^{171}*5^{345})^{14}+(2^{8}*3^{52}*5^{105})^{46}=(2^{7}*3^{46}*5^{93})^{52}\)


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发表于 2024-2-25 05:50 | 显示全部楼层
不是多解,而是无穷多组解。
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