解不定方程x^a+y^b=z^c

朱明君

一，\(设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n为正整数，\)
       \(则\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}\)
二，\(设\ x^a+y^b=z^c{,}\ 其中\ x{,}y{,}z{,}a{,}b{,}c{,}n{,}为正整数，\)
       \(若a是nb的倍数，则\left( xz\right)^a+\left( yz^n\right)^b=z^{a+c}\)
三，\(设\ x^n+y^{n+1}=z^n,其中\ x{,}y{,}z{,}n{,}K为正整数，\)
       \(\left( 2^n-1\right)^n+\left( 2^n-1\right)^{n+1}=\left( 2\left( 2^n-1\right)\right)^n\)
       \(则\left( xK^{n+1}\right)^n+\left( yK^n\right)^{n+1}=\left( zK^{n+1}\right)^n\)
              

(第1题)
\(解方程x^{202401}+y^3=z^{202403}\)
\(原方程，1^a+2^3=3^2{,}\ \ 其中a为大于等于1的正整数，\)
\(若a是nb的倍数，则\left( xz\right)^a+\left( yz^n\right)^b=z^{a+c}\)
\(设a=202401，\ 代入公式得\)
\(\left( 1\times3^1\right)^{202401}+\left( 2\times3^{67467}\right)^3=3^{202403}\)

(第2题)
\(解方程x^3+y^4=z^5\)
\(原方程，2^3+1^b+=3^2{,}\ 其中b为大于等于1的正整数,\)
\(则\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}\)
\(设b=4,   \ n=4， \ 代入公式得\)
\(\left( 2\times3^{16}\right)^3+\left( 1\times3^{12}\right)^4=\left( 3^{10}\right)^5\)

(第3题)
\(解方程x^n+y^{n+1}=z^n{,}\ \ 其中x,y,z,n为正整数，\)
\(且2^n-1=x=y{,}\ \ 2\left( 2^n-1\right)=z{,}\)
\(一，则\left( 2^n-1\right)^n+\left( 2^n-1\right)^{n+1}=\left( 2\left( 2^n-1\right)\right)^n\)
\(二，则\left( xK^{n+1}\right)^n+\left( yK^n\right)^{n+1}=\left( zK^{n+1}\right)^n\)
\(设n=4{,}\ 代入公式一得\left( 2^4-1\right)^4=\left( 2^4-1\right)^5=\left( 2\left( 2^4-1\right)\right)^4\)
\(设n=3{,}\ \ K=4{,}\ \ 代入公式二得\left( \left( 2^3-1\right)\times4^4\right)^3+\left( \left( 2^3-1\right)\times4^3\right)^4=\left( \left( 2^3-1\right)\times4^4\right)^3\)

lusishun

两边可继续乘以k^[ab（a+c)]
K为正整数

朱明君

\(解方程x^3+y^4=z^5\)
\(原方程，2^3+1^b+=3^2{,}\)
\(\left( xz^{nb}\right)^a+\left( yz^{na}\right)^b=z^{nab+c}\)
\(b=4{,}\ \ n=4{,}代入公式得:\)
\(\left( 2\times3^{16}\right)^3+\left( 1\times3^{12}\right)^4=\left( 3^{10}\right)^5\)

朱明君

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朱明君

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