推翻数学大厦的蚂蚁问题

Nicolas2050

真正搞数学的［许晨阳，恽之玮等］。有几个是狂得没边的？那就是一片汪洋大海,多少聪明人【北大清华复旦】丢进去，都摸不到门道的学问．

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-22 18:19
elim先生：
       您认为【达到论只有你自己认为与极限定义等价，本质上与青山jzkyllcjl 的达不到一 ...

春风先生的 \(n\to\infty\)时，\(1/n=0\) 是什么意思我不知道。因为我不知道什么时候是 \(n\to\infty\)时，
也不知道有正整数 n 使得 1/n =0.  所以先生的这种达到论我是很排斥的．

命题 \(\forall n\in\mathbb{N}^+(\frac{1}{n}\ne 0)\) 的普通说法是，任何时候 1/n 都不等于 0 ．
后者蕴含  【当\(n\to\infty\)时 \(\frac{1}{n}\) 不等于 \(0\)】
这比春风先生的 【当\(n\to\infty\)时 \(\frac{1}{n}=0\)】更合逻辑．

数理逻辑认为应该弃绝有歧义的自然语言提出合式公式的概念，我认为起马应停用已知有歧义的语句．

门外汉

Nicolas2050 发表于 2023-12-23 06:14
真正搞数学的［许晨阳，恽之玮等］。有几个是狂得没边的？那就是一片汪洋大海,多少聪明人【北大清华复旦】 ...

井上之蛙从井底跳上来了，狂不狂啊？

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-23 06:57
春风先生的 \(n\to\infty\)时，\(1/n=0\) 是什么意思我不知道。因为我不知道什么时候是 \(n\to\infty\) ...

elim先生：
       为讲清楚①什么是∞？②什么叫n→∞？③什么时候会有\(\tfrac{1}{n}=0\)？④为什么\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff\)\(当n→∞时，\tfrac{1}{n}=0\)？几个方面回帖。帖子较长，望众网友，耐心阅读，读懂后再哂。
一、现代分析关于无穷的定义
       ①、什么是无穷大：
     【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持′着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
       不难看出无穷大是相对于预先给定的任意大数E>0的集合，记为\(\mathbb{N}_∞\)，即\(\mathbb{N}_∞=\{n｜n>N_E，n∈N\}\).
       根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
         ②、什么叫n→∞？
         因为∞是一个集合，所以n和∞的关系只能是n∈\(\mathbb{N}_∞\)和\(n\notin\mathbb{N}_∞\)两种情况。
【定义】：当n∈n∈\(\mathbb{N}_∞\)，称n→∞.
       有了这个定义：\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(\displaystyle\lim_{n∈\mathbb{N}_∞}a_n=a\)
命题\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\). 亦等价表示为\(\displaystyle\lim_{n∈\mathbb{N}_∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n∈\mathbb{N}_∞时，a_n=a\)，
       ③、自然数集\(N=\{n｜n≤N_E，n∈N\}\)\(\bigcup\)\(\{n｜n>N_E，n∈N\}\)（\(N_E\)与预先给定的任意大的数E相关。该命题本帖证明从略)
二、证明\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\).
       (1)、【证明（充分性）】
       因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(a_n=a\).即\(当n→∞时a_n=a\).【充分性证毕】
     （2）、【证明（必要性）】反证法  假设\(当n→∞时a_n≠a\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(ε=\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件，一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论，亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证明】
        综合(1)、(2)知：\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)\(\iff\)\(当n→∞时a_n=a\).
        作为特例当\(a_n=\tfrac{1}{n}\)也有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff\)\(当n→∞时\tfrac{1}{n}=0\).【注意】这个结果并不显然，请结合160楼所给\(y=\tfrac{1}{10^x}\)曲线看，使曲线与x轴绝对重合的\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)是存在的。当n=集合\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)中任一个数时，都有\(y=\tfrac{1}{n}=0\)

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-23 00:58
elim先生：
       为讲清楚①什么是∞？②什么叫n→∞？③什么时候会有\(\tfrac{1}{n}=0\)？④为什么 ...

先生的\(N_{\infty}\) 是一个空集．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-23 08:23
先生的\(N_{\infty}\) 是一个空集．

请先生结合160楼所给\(y=\tfrac{1}{10^x}\)曲线看，当ε=\(\tfrac{1}{10000}\)时，曲线\(y=\tfrac{1}{10^5}\)时，便与x轴近似重合了。这时曲饯与x轴误差是\(\tfrac{1}{10^5}\)，当然\(\tfrac{1}{10^5}\)不能算很小，更不能算无限小。对于您想得自然n，\(\tfrac{1}{10^n}\)也不算无论怎样小的正数。所以当正数ε无论怎样小时，一定存在集合\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)，当x∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时，′曲线\(y=\tfrac{1}{x}\)与x轴绝对重合了。请先生写出您得到集合\(\mathbb{N}_∞\)=\(\Phi\)的解析过程。

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-23 01:52
请先生结合160楼所给\(y=\tfrac{1}{10^x}\)曲线看，当ε=\(\tfrac{1}{10000}\)时，曲线\(y=\tfrac{1}{10^ ...

看似重合，其实不然．先生自娱自乐可以．不登学术大雅之堂．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-23 08:56
看似重合，其实不然．先生自娱自乐可以．不登学术大雅之堂．

您信不信是您的自由，能“自娱自乐”足矣！春风晚霞从未奢望“登学术大雅之堂”。还是请先生把您能登大雅之堂的东西拿出来，证明您得到空集的推导是对的！并且也请您用您能登大雅之堂的理论拿出来解释x→∞是哪个时刻？

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2023-12-23 05:58
春风晚霞；你坚持徐利治《论无限》，那么请你说说 n→∞ 时 S2n=1/2^n 与，S 2n+1=1/2^n+1 是否相等？ ...

先生所询问题与elim先生、痛打落水狗网友他们的认识一致(即极限存在，但不可达)、论证方法也完全相同(即用不完全列举代替完全归纳)，望先生阅读160楼、211楼自悟。恕不单独回复！

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-23 02:03
您信不信是您的自由，能“自娱自乐”足矣！春风晚霞从未奢望“登学术大雅之堂”。还是请先生把您能登大 ...

\(\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}^+\) 没错吧？ 如不然，有\( n\in\mathbb{ N}_{\infty}\) 不是自然数，\(1/n\) 就没有意义。
但如果\(\varnothing\ne N_{\infty}\subset\mathbb{N}^+\), 就有正整数\(n\in \mathbb{N}_{\infty}\) 于是 \(1/n > 0.\) 所以 \(\mathbb{N}_{\infty}\) 不能有元素.
数学的严密深邃，既是必须，也天然是大雅之堂。逻辑上一团糟的东西就是垃圾。

标准分析已经扬弃了【当\(n\to\infty\)时，\(a_n = a\)】这种垃圾, 有
【\( a_n \to a\;(n\to\infty)\)】 就足够了.