与大傻8888888先生商榷

yangchuanju

与大傻8888888先生商榷
大傻8888888先生在yangchuanju的《连乘积哥猜公式误差分析》中曾分布一贴：
http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D2&page=8

76楼  大傻8888888  发表于 2021-11-12 11:46
连乘积哥猜公式误差分析只靠计算一些比较大的数是不可能得出准确的值。只有靠理论才能得出。
根据梅滕斯定理，可以知道：
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN       其中2≤p≤√N      e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)        其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)/(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]   其中2＜p≤√N，
所以
r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2
上面(1-2/p)里2＜p≤√N      (1-1/p)里 2≤p≤√N
因为[2e^(-γ)]^2=1.2609.......
所以[1/2e^(-γ)]^2=0.793......
这样就可以知道当N趋近无限大时连乘积哥猜公式的误差的准确值，这就解决了哥猜数“有多少”的问题。同时知道了误差的准确值就可以解决“有没有”的问题。

yangchuanju

帖子中的：
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)/(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]   其中2＜p≤√N，
第1等号        1-2/p=(p-2)/p=(p-1)/p*(p-2)/(p-1)=(1-1/p)*(p-2)/(p-1)
第2等号        倒推(1-1/p)*(1-1/p)*[1-1/(p-1)^2]=(1-1/p)*(p-1)/p*[(p-1)^2-1]/(p-1)^2=(1-1/p)*(p-1)/p*(p^2-2p)/(p-1)^2=(1-1/p)*(p-2)/(p-1)
第3等号        连乘号外1/2变2，连乘号内加了2个系数1/2
上述各式变换没有错误！

帖子中接着说：
所以r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2
上面(1-2/p)里2＜p≤√N      (1-1/p)里 2≤p≤√N
因为[2e^(-γ)]^2=1.2609.......
所以[1/2e^(-γ)]^2=0.793......

第1约等号        如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2
由第2等号        (N/2)∏(1-2/p)=2cN∏[(1-1/p)^2]
左右消去N        (1/2)∏(1-2/p)=2c∏[(1-1/p)^2]
由前式        (1/2)∏(1-2/p)=2∏(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
取两式右端        2c∏[(1-1/p)^2]=2∏(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
消去2并改写右端        c∏[(1-1/p)^2]=∏(1/4)*(1-1/p)^2*[1-1/(p-1)^2]
消去∏[(1-1/p)^2]        c=1/4*∏[1-1/(p-1)^2]

yangchuanju

根据网页《Prime Constellation》（网址：https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html）
孪生素数的数量积分公式是：
Px(p,p+2) ～2*∏p*(p-2)/(p-1)^2*∫dx’/[ln(x’)]^2 = 1.320323632…*∫dx’/[ln(x’)]^2
式中p≥3，积分下限是2，上限是x

孪生素数常数C=∏p*(p-2)/(p-1)^2
序号1        素数1        p*(p-2)/(p-1)^2        ∏p*(p-2)/(p-1)^2
1        2        0       
2        3        0.75        0.75
3        5        0.9375        0.703125
4        7        0.972222222        0.68359375
5        11        0.99        0.676757813
6        13        0.993055556        0.672058105
7        17        0.99609375        0.669432878
8        19        0.99691358        0.667366728
9        23        0.997933884        0.665987871
10        29        0.99872449        0.665138396
……
49999        611951        1        0.660161891
50000        611953        1        0.660161891
……
当p继续增大到无穷大时，孪生素数常数c等于0.660161816…
前105位数字是6, 6, 0, 1, 6, 1, 8, 1, 5, 8, 4, 6, 8, 6, 9, 5, 7, 3, 9, 2, 7, 8, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 4, 3, 2, 6, 2, 3, 3, 6, 0, 2, 8, 4, 7, 3, 3, 4, 1, 3, 3, 1, 9, 4, 4, 8, 4, 2, 3, 3, 3, 5, 4, 0, 5, 6, 4, 2, 3, 0, 4, 4, 9, 5, 2, 7, 7, 1, 4, 3, 7, 6, 0, 0, 3, 1, 4, 1, 3, 8, 3, 9, 8, 6, 7, 9, 1, 1, 7, 7, 9,……
（A005597共给出1001位数字）

yangchuanju

与大傻8888888老师商榷
孪生素数常数C=∏p*(p-2)/(p-1)^2亦可变换成C=∏[1-1/(p-1)^2]的形式：
p*(p-2)/(p-1)^2=p/(p-1)*(p-2)/(p-1)
=p(p-2)/(p-1)^2=[p^2-2p+1-1]/（p-1）^2=[(p-1)^2-1]/(p-1)^2=1-1/(p-1)^2
C=∏p*(p-2)/(p-1)^2=∏[1-1/(p-1)^2]

而用大傻8888888老师的C表达式c=1/4*∏[1-1/(p-1)^2]
仅为实际孪生素数常数的1/4，请问系数1/4来自哪里？如何解释？

而如果将帖子中的r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2
改成r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=c*N/2*∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2
由式中的等号左右两边可得
(N/2)∏(1-2/p)=c*N/2*∏[(1-1/p)^2]
∏(1-2/p)=c∏[(1-1/p)^2]
结合帖子前面的式子1/2*∏(1-2/p)=2*∏(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
得∏(1-2/p)=4∏(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
c∏[(1-1/p)^2]=4∏(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
c∏[(1-1/p)^2]=∏(1-1/p)^2*[1-1/(p-1)^2]
c=∏[1-1/(p-1)^2]
方使得C和c变成一个东西——孪生素数常数。

因此大傻8888888老师的哥猜数表达式应改为
r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=c*N/2*∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2
上面 (1-1/p)里 2≤p≤√N

yangchuanju

按改正后表达式r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=c*N/2*∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2验证
N        双计哥猜数        最大p        等号左端        等号右端        计算/实际
10        3        3        0.793053281        0.744595191        0.264351094
100        12        7        5.66466629        5.470495283        0.472055524
1000        56        31        24.62094254        24.46391022        0.439659688
10000        254        97        151.8579704        151.5789341        0.597866025
100000        1620        313        975.9154597        975.4654066        0.60241695
1000000        10804        997        6864.919348        6864.046706        0.635405345
10000000        77614        3137        50726.39744        50724.60319        0.653572776
1E+08        582800        9973        388153.2789        388149.4686        0.666014549
1E+09        4548410        31607        3072208.572        3072199.968        0.67544671
1E+10        36400976        99991        24887675.61        24887655.65        0.683709019
1E+11        298182320        316223        205772524.4        205772476.6        0.690089622
1E+12        2487444740                               
1E+13        21066301710                               
1E+14        180701260776                                
经验证，等号两边的表达式计算值基本相等（本应完全相等，但因两个常数取值精度不同，略有差别），
“计算/实际”随着N的增大，逐渐在增大；当N趋近于无穷大时“计算/实际”应该增大到1。
看来大傻导出的哥猜计算式不适用于求有限偶数的哥猜数（对于千亿的偶数计算值仅为实际值的0.69倍）。

yangchuanju

请大傻8888888老师审查！谢谢！

yangchuanju

本帖内容错误，已删除！

yangchuanju

本帖内容错误，已删除！

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2021-11-15 13:27
帖子中的：
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)/(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1 ...

消去2并改写右端        c∏[(1-1/p)^2]=∏(1/4)*(1-1/p)^2*[1-1/(p-1)^2]    其中2＜p≤√N  
(1/4)*(1-1/p)^2=(1-1/p)^2      前一个(1-1/p)^2里面2＜p≤√N ，后一个(1-1/p)^2里面 2≤p≤√N
消去∏[(1-1/p)^2]        c=∏[1-1/(p-1)^2]       其中2＜p≤√N     当N趋近无限大时  c=∏[1-1/(p-1)^2]

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2021-11-16 11:16
消去2并改写右端        c∏[(1-1/p)^2]=∏(1/4)*(1-1/p)^2*[1-1/(p-1)^2]    其中2＜p≤√N  
(1/4)*(1 ...

老师的意思是说将原式
r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2
中的右端改为c*N*∏(1/4)*(1-1/p)^2*[1-1/(p-1)^2]吗？这样该右端数值小了8倍呀！

改正后的公式应该是
r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=c*N/2*∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2
才对呀！