请教费尔马先生

yangchuanju

请教费尔马先生
程中战老师：您好！
学生对对数积分一直糊里糊涂，搞得我晕头转向，今先请教第一个问题，请在您有空时给以解答！
先行谢谢了！                  Yangchuanju    2010-5-26

对数积分公式推导
《数学手册》（数学手册编写组  高等教育出版社  1979年5月第1版 1984年6月第4次印刷）276页第2-3行给出的第5个不定积分公式是：
被积函数f(x)：     ln(ax)^n  (n≠-1)
不定积分∫f(x) dx：    x*ln(ax)^n – n*∫(ln(ax))^(n-1) dx
                       或 (-1)^n*n!*x*Σ(-1)^r*(ln(x)^r)/r!  
Σ的下界r=0，上界是n；积分常数C均略去未写。

两点疑问：
（1）“或”后的式子是整个积分式，还是积分式的第2项？
（2）“或”后的式子中的“a”怎么没有了？

（1）令n=0，∫ln(ax)^n dx = ∫ln(ax)^0 dx = ∫1 dx = x +C；
（2）令n=1，∫ln(ax)^n dx = ∫ln(ax)^1 dx = ∫ln(ax) dx = x*ln(ax) –x +C；（上书275页倒数第4行第1个不定积分公式）
（3）令n=2，∫ln(ax)^n dx = ∫ln(ax)^2 dx =  x*ln(ax)^2 -2*x*ln(ax) +2*x +C；（上书275页倒数第1行第4个不定积分公式）

按递推公式：
（4）当n=0时，∫ln(ax)^0 dx = x*ln(ax)^0 – 0*∫(ln(ax))^(0-1) dx = x  （C省略未写，该式与（1）相同）；
（5）或等于(-1)^n*n!*ax*Σ(-1)^r*(ln(ax)^r)/r! =(-1)^0*0!*ax*(-1)^0*ln(ax)^0/0!
=1*1*ax*1*1=ax  （这里先添加了x的系数a，以下7,9式相同，也添加了a）。

（6）当n=1时，∫ln(ax)^1 dx = x*ln(ax)^1 – 1*∫(ln(ax))^(1-1) dx
= x*ln(ax) - ∫1 dx = x*ln(ax) -x （C省略未写，该式与（2）相同）；
（7）或等于(-1)^n*n!*ax*Σ(-1)^r*(ln(ax)^r)/r!
= (-1)^1*1!*ax*[(-1)^0*ln(ax)^0/0! + (-1)^1*ln(ax)^1/1!]
= -1*1*ax*[1*1/1-ln(ax)] =ax*ln(ax) -ax

（8）当n=2时，∫ln(ax)^2dx = x*ln(ax)^2 – 2*∫(ln(ax))^(2-1) dx
= x*ln(ax)^2 – 2*∫ln(ax) dx = x*ln(ax)^2 -2*[x*ln(ax) –x]
= x*ln(ax)^2 -2*x*ln(ax) +2*x（C省略未写，该式与（3）相同）；
（9）或等于(-1)^n*n!*ax*Σ(-1)^r*(ln(ax)^r)/r!
=(-1)^2*2 !*ax*[(-1)^0* ln(ax)^0/0! + (-1)^1*ln(ax)^1/1! +(-1)^2*ln(ax)^2/2!]
=2*ax*[1*1/1 – ln(ax) + ln(ax)^2/2] =2*ax – 2*ax*ln(ax) +ax*ln(ax)^2 = ax*ln(ax)^2 -2*ax*ln(ax) +2*ax

比较（4）—（9）与（1）—（3）式，第1个疑问得到解决，“或”后的式子就是“或”前式子的另一种形式；
在“或”后的式子中添加x的系数a后，所有积分式各项均增加了一个系数a，大了a倍；但不加系数a，积分式各项中的ln项又没有了a，看来应将“或”后的式子改为  或 (-1)^n*n!*x*Σ(-1)^r*ln(ax)^r/r!  才对！
当使用这些积分式就是素数个数、k生素数种类数时，a都是1，两式倒是相同的。

程老师手头如有其它版本的数学手册可校核一下那个对数积分究竟该如何积分！

费尔马1

杨老师您好:《数学手册》我有一本，是别人送给我的，1973年的，定价0.5元，四川矿业学院数学教研组编。可惜啊，我没有读过高等数学，不懂得积分，也不知道积分有什么用途，还请老师有空的时候，不吝指教。谢谢老师！