地图五地域四色盘的延传图示

沟道效应

                   地图五地域四色盘的延传图示
               （原作 周明祥    文本格式改写 沟道效应）

                   一，        序言
    所谓地图，本文是特指同权辖的行政区划地图。因此，地图四色猜想，当然也就含盖在
本文的论述中。统称地图的同权辖单位为地域，那么，这个地域之义就广义了，可以代表村、
县、省，当然也可以代表国。所以，1852年问世的地图四色猜想是较狭义的，只研究一国与
多国之间怎样进行染色区划。而且，最初去研证猜想的前辈，直面地图上地域“杂乱无章”
的几何构形，总觉得直接去证明很难奏效，就改而走上了“图论”间接证明的道路，但一个
多世纪以来，并无前辈与后继者们从中获得了真正的证明之果。作者也曾深入其中，受多年
失败的惨痛教训后才有了醒悟：地图本来就是很直观的，难道地图上地域构形就真的“杂乱
无章”得无定理可述？于是，我又重新转回直面地图地域的几何构形，用统计的观念，先从
四地域构形的分类起步，很快便有了初步成果。2007年9月21日，[科技咨询导报]刊登了
作者的《地图上作四边形用四个角点染色的延传研究》！现在，12年过去，作者又有了更深
入的认识，写成了本文，希望与读者能有共识。
                  二，原生态的四地域外露三色共性的图形表述
    地图四色可染，实际是初等数学排列乘法公式的一则应用问题。故其核心是，只要发现
了任意四地域的染色共性是：外露色不多于3种。那么，就算初步入门了。
    定义1。以本文图a之四色地图为据，图上用间断线条围成的占有一定面积含有色码(⊕◆
＊※)标注和有序编号的一个图形，是地图上的一个地域；二个地域有一条间断线条（边界
线）相连接，是相邻二地域，但只有一个点相连接，是顶隔二地域；本文特称它们是相互能
连通的二地域；无前述性质的二个地域，是相隔二地域，即它们是相互不能连通的二地域。
定义2。地图上由若干相互有连通关系的地域集合成的地域构形，是多地域盘。多地域盘中
的某个地域与盘外的地域无邻接关系，是盘的内藏地域，并名其所染颜色是内藏色；相
反，它就是盘的外露地域，并名其所染颜色是外露色。
    据以上定义，本文就可以把地图上无限之原始四地域盘，统计成两种共计六类，计开为
第一种：有相隔四地域构形——
1，三才列延伸成             2，三才弯填缺成         3，三才鼎贴邻成
        四相列外露二色盘↓      四相顶外露二色盘↓      二邻横四相外露三色盘↓
∣￣￣￣∕￣﹨￣￣￣∕￣￣﹨     ∕￣￣￣﹨￣￣﹨        ∕￣￣￣∧￣￣￣﹨
∣ ◆1 ∣2＊  ﹨3◆∣4＊  ∣    ∣＊1    ∕◆4  ∣      ∣ 1※ ∕  ﹨ ◆4  ﹨
∣     ∣      ∣  ∣    ∕     ∣￣￣￣∣￣￣￣∣      ∣￣ ￣﹨    ﹨     ∣
  ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣      ∣ ◆2  ∣ ＊3  ∣      ∣ ◆2  ﹨＊3  ﹨  ∕
                                 ﹨＿ ＿∕＿＿＿∕       ﹨＿＿＿﹨＿＿＿∨
第二种：有内藏四地域构形——
4，三才包扣盖成             5，三才顶同座成           6，三才球贴邻成
     （二包二藏）                 （三包一藏）             （二包一藏）
四相全邻外露二色盘↓           四相全邻外露三色盘↓     二边隔四相外露三色盘↓
  ∕￣￣￣￣￣￣￣￣﹨         ∕￣￣￣∕￣ ￣￣﹨      ∕￣￣￣￣￣￣￣￣﹨
∕＊4    ＿＿＿＿    ﹨      ∕＊1   ∕         ∣    ∣ ⊕1   ＿＿＿     ∣
∕      ∕﹨内藏  ﹨    ﹨   ∕     ∕￣﹨ ⊕2   ∣    ∣     ∕内藏  ﹨   ∣
∣     ∕   ﹨⊕3  ∣    ∣ ∣     ∕内藏 ﹨     ∣    ∣＿＿∕  ◆2   ∣＿∣
∣＿＿∕◆2   ﹨   ∕＿＿∣ ∣＿＿∕◆3   ∕＿ ＿∣    ∣    ﹨＿ ＿＿∕   ∣
∣    ﹨  内藏  ﹨∕     ∣ ∣     ﹨＿＿∕      ∕    ∣3＊               ∣
∣1※   ￣ ￣ ￣ ￣     ∕  ∣4※               ∕      ﹨     ∕￣￣￣￣￣∕
﹨                     ∕    ﹨                ∕         ﹨  ∕  4⊕     ∕
  ￣ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣        ￣ ￣ ￣￣￣￣￣             ￣￣￣￣￣￣￣
     据以上六类原生态四地域盘外露色的共性，本文就有
    定理1。地图上任意四地域盘，外露色皆不多于三色。
     证明：无论地图上有多少地域，当我们从中任意提出一组四地域盘来染色时，它们无非
就只能是上述两种六类四地域外露二或三色可染的一个盘。如此，我们可以任意给出四种颜
色去选择三种，将这些四地域盘首先染成三色——据排列乘法公式，从4种元素中取3种可
得24种排列就表明：我们起码有多种方案将诸四地域盘首先染成三色。尚剩有一种颜色起
何作用？它既可补染有内藏地域的一个内藏地域使之成为第四种颜色，又可作下一组四地域
盘的起染色，这就使地图上任意四地域盘染外露三色的程式，能正常延传。定理得证。
                  
         三，地图上区划五地域四色盘可延传的内因解析。
    定义3。择原生态“六类四地域盘”中的四个地域为基础，另拓展与基础的一地域成相
隔关系的一个邻接地域成五地域盘，是“五地域四色盘”。
     ——这是因为原生态“六类四地域盘”的四个地域，本来最多就只染了四色（是外露色
皆不多于三色的表现），而另拓展与盘外的某个有相隔关系的地域，染色时恒可以染原四色中
的某个色。故此，新得的五地域盘无论如何都可以染成四色，而可赐名“五地域四色盘”。
据定义3，地图上四色可染的直接证明和直观验证，就可获得更简洁的定理表述。
    这是因为，任何一张有5n＋R（n=1、2、3、… ，R∈1、2、3、4）个（有限地域或无
限地域）的原始地图，我们皆可从地图上的任意一地域起，以五个地域为一个盘（ 其中，每
一个“五地域”的前4个地域恒是“四地域三色盘”或“四地域四色盘”，后一个地域只起
“补足为四色”或稳定为四色的作用——实际这就是恒得到了“五地域四色盘”），然后对地
域作有序编号为一：1、2、3、4、5，二：6、7、8、9、10，… ，n ：5n-4、5n-3、5n-2、
5n-1、5n，就是先把5n地域区划成n个“五地域四色盘”而串联在一条连通曲线上；并将
剩余R（R∈1、2、3、4）个地域，作为n+1个残缺“五地域四色盘”亦串联在连通曲线之
末。这样做。实际上就是得到了
    定理2。地图皆可有序地区划五地域为“五地域四色盘”，铸成地图四色可染。
    证明：任何一张有5n＋R（n=1、2、3、… ，R∈1、2、3、4）个有限或无限个地域
的原始地图，其R∈1、2、3、4）个地域显然四色可染外，其5n地域皆可据定义3，有序
地选构成n个“五地域四色盘”，得微观上诸“五地域四色盘”皆为同样四色染成的异样分
布，从而宏观上得地图“五地域四色盘”的集合，只能是同样的四色染表现。定理得证。
    为了验证定理2成立，本特发布一幅验证图于此，名
     图a：有83个地域作四色码(⊕◆＊※)标注和有序编号成十七个“五地域四色盘
（含一：1、2、3、4、5，二：6、7、8、9、10，…）”的四色染地图↓  
∣￣￣￣￣∣￣￣￣￣∕￣￣﹨￣￣￣￣￣￣￣￣∕￣ ￣ ￣ ￣∕￣￣﹨￣ ￣ ￣∕￣ ￣﹨
∣``69◆``∣70＊```∣十五   ﹨ 73◆    ∕￣￣￣﹨``79＊ ∣80⊕  ﹨十七   ∣83＊  ∣
∣````````∕```````∣ 71⊕   ∣       ∣75※    ∣` ``` ∣```````∣◆81  ∣      ∣
∣＿＿＿ ∕￣￣∕￣﹨￣￣￣￣﹨￣￣￣￣﹨＿＿＿∕￣ ￣￣∣￣￣ ￣￣﹨￣￣ ￣ ￣￣∣
∣68＊`∕     ∕`````﹨    72※﹨ 74＊  ∣``十六 ◆76``` ﹨78＊````` ﹨   82⊕   ∣
∣````∕67※∕````````﹨        ∣      ∣`````∕￣ ￣￣∕￣￣￣﹨     ﹨        ∣
∣``∕￣￣∕65◆∕￣ ￣ ﹨￣￣￣￣￣￣￣∧￣￣￣﹨````` ∣ 77※  ∣￣￣￣∣ ￣ ￣∣
∣`∕66⊕∕ ```∕`` 64※ `﹨ 二`` ＿＿∕``﹨ 9＊` ﹨ 10⊕﹨     ∕```````∣``````∣
∣∕十四∕ ```∕   ＿＿＿ `﹨ 6⊕∣7※﹨8◆﹨```````﹨＿＿∕￣￣ ``◆11``∧＊12 `∣
∣￣ ￣∣￣￣∣``∕63⊕ ∧``﹨` ``﹨```∣``` ﹨````````﹨```三``` ＿＿＿∕`﹨＿＿∣
∣     ∣⊕57∣``∣```∕``﹨``﹨￣ ￣￣￣﹨```﹨``````` ∣```````∕﹨※13  ∕````∣
∣56   ∣    ∣￣∣￣∣62＊∣￣∣＊5```````﹨```∧＿＿＿∧＿＿＿∕   ﹨＿＿∧⊕15∣
∣◆   ∣￣￣∣ ∕61※﹨``∕ ∕￣﹨￣￣﹨````∨       ※22﹨＊21五    ∕◆14﹨```∣
∣十二 ∣※58∣ ﹨十三` ∨  ∕※4`∕````∣```∣   ＿＿＿＿＿﹨＿＿＿＿∣`````∣``∣
∣    ∕     ∣   ￣ ￣￣  ∕````∕``  ∕￣￣∣    ∧     ﹨  ﹨```    ﹨＿＿∕＿∣
∣￣￣﹨     ∣    ◆60   ∕``∕￣3`  ∕`∕￣∣  ∕  ￣﹨   ﹨  ﹨`20⊕ ∣ ﹨` ``∣
∣```` ∣￣￣∣￣￣∣￣ ￣﹨￣`◆``∕￣`∕```∕￣∣⊕24∣＊23∣   ﹨＿＿∕`∣ 四 ∣
∣```` ∣````∣＊59∣````` ∣`````∕※2∕```∣   ∣    ∣    ∣＿   ∣19※`∕16＊∣
∣55＊ ∣````∣    ∣```````￣￣￣￣￣￣````∣    ﹨＿∕＿＿∕      ∣````∣`` ``∣
∣```` ∣◆54∣    ∣`∕￣﹨```````一``1````∧     ◆25            ∕ ￣￣∣￣ ￣∣
∣￣ ￣∣￣￣﹨＿∕￣∣     ￣∣￣￣￣∨￣￣  ﹨＿＿ ＿ ＿＿＿＿＿∕ 18⊕ ∣17◆ ∣
∣```` ﹨※53``﹨    ∣43＊  ∕ 42※ ∕41＊九   ∣```六26 ※``````﹨``````∣`` ``∣ 九
∣ ⊕52 ﹨``````﹨    ﹨＿＿∕＿＿＿∕ ∕￣﹨    ﹨＿＿＿＿＿＿＿＿∧ ＿＿∣＿ ＿∣
∣`````` ﹨``````∣     44◆     ∣   ∕40⊕∣   ∕`````∣27＊```∣◆28```∣＊29`∣
∣￣ ￣￣￣﹨  ＿∣＿＿＿＿＿＿＿∣＿∕````∕＿ ∣38 ⊕`∣```````∣```````∣`````∣
∣＊51`````` ∨```﹨````﹨ 45⊕ ∣````﹨＿∕````∧＿＿＿∣＿＿＿∕＿ ＿＿∕＿＿＿∣
∣````十一``` ﹨````﹨※47﹨    ∣``````39※``∕ 37＊```∣ ※33 ∣```30 ⊕```````∣
∣```````````` ﹨⊕48 ﹨````﹨  ∣＿＿＿∕￣￣``````````∣      ∣`````````＿＿＿∣
∣￣￣￣￣∣￣￣￣￣∣￣￣￣￣∣````````  ∨￣￣￣∣￣￣￣￣￣∣￣ ￣ ￣∕  七   ∣
∣⊕50````∣`◆49```∣＊46``十∣36◆ 八   ∣⊕35  ∣   ◆34   ∣＊32    ∣◆31   ∣
∣＿＿＿＿∣＿＿＿＿∣＿＿＿＿∣＿＿＿＿＿∣＿＿＿∣＿＿＿＿＿∣＿＿＿＿∣＿ ＿＿∣

    从地图的有序编号一：1、2、3、4、5，二：6、7、8、9、10，… 去解读“五地域四色（
⊕◆＊※)盘”，不存在反例而恒成立。这种成立之势，就像一个会开小汽车的老司机，总是能
手眼一致，在公路的行车道上（此处体现为“五地域四色盘”）随弯就弯不越轨，一直向前走
完全程。从而验证了地图四色猜想成立，实在是一个很直观的线性连通的“五地域四色盘”构
形之简单真理，而不是复杂得像二色相间图论臆造性间接性证明理论那样的不可触摸。——例
如，点链染色理论有偶圈二色、奇圈三色定理之说。但是，我们将图一围绕顶点“⊕1”来进
行染色实践所得的结果时，地图的色相实际表现为

图b：↓（围绕顶点“⊕1”的11（或12）个地域实际点色分布图示）

∣ ﹨※59 ∨  ∕※4 ∕◆3  ∣＊5∣※17 ＿＿＿＿
∣   ￣￣￣  ∕    ∕  ＿＿∣   ∣    ∧      ﹨
∣◆54      ∕    ∕ ∕    ∕ ￣∣   ∕ ￣﹨    ﹨
∣￣￣∣￣￣﹨￣￣  ∕※2 ∕   ∕ ￣∣⊕19 ∣＊18∣
∣＊53∣     ∣    ∣    ∕    ∣    ∣    ∣    ∣
∣    ∣      ￣￣ ￣￣￣ 一 1 ∣    ﹨＿ ∕＿＿∕
∣    ∣ ∕￣﹨          ⊕    ∧     ◆20  
﹨＿∕￣∣     ￣∣￣￣￣∨￣￣  ﹨＿＿＿＿＿＿
   ﹨   ∣43＊  ∕ 42※ ∕  41＊  九∣  六26 ※  
     ﹨  ﹨＿＿∕＿＿＿∕    ∕￣﹨  ﹨＿＿＿＿＿＿
      ∣     44◆     ∣    ∕40⊕∣  ∕    ∣27＊

    可标准为图论之点圈形象为
图c：↓

               2※ ＊5   
            3◆        ※17
          4※     ⊕    ◆20
         54◆     1     ＊41
           53＊       ※42
              44◆ ＊43
     
很显然，上述11（或12）个点色分布，神仙来了也无法将它们导入诸多“二色相间”
的臆想情境！这就足以证明：“二色相间”的臆想情境，在原生态地图上完全无踪迹可寻，
而不成立。
    这是为什么呢？
    因为顶点（⊕1）本身就处在第一个“五地域四色盘”中，是这个“五地域四色盘”的
外露边缘地域，而11（或12）个地域包围它时，亦不能是独立的形为；它们不能脱离所在
“五地域四色盘”的“非二色相间”的色性制约，故不可出现“二色相间”的臆想情境；而
只能呈现成图b那样的服从于各自的“五地域四色盘”色分布需要的“非二色相间”分布。

    综上所述，地图四色可染成立，可一句话表述为：因这任何一张地图上的地域，皆能计
算为5n+R(R∈1、2、3、4)个，且可线性地有序区划成n+ 1个“五地域四色盘”而分别染成
相同的四色之无限相异分布，得地图宏观上的四色，就是诸“五地域四色盘”微观上所呈现
出的相同四色。

沟道效应

欢迎提出更简单的表述。

沟道效应

    其实，能够阅读行政地图的人，对主楼的表述是可以进行更简洁表述的。换句话说，他们
对地图四色染是定理的表述，是可以根据地图之四地域构造的外露三色共性，造就了线性五地
域四色盘的可延传本质，就可用用数学语言，直接进行表述——

沟道效应

    定理：因为地图地域的个数，皆可有序地用5n+R(R∈1、2、3、4)表示，所以同时也可解
读色码地图：微观上是由n组五地域四色盘加R(R∈1、2、3、4)个不超过四色染的另星地域
构成的；据此就造成：宏观上地图上众多地域必然是四色染可染的。

沟道效应

反复地多看看必会有收获。

沟道效应

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沟道效应

    看了本文的图示内容。对1852年问世的地图四色猜想是正确的，就有了可免去地图的地域
构造表述，而能用数学语言把前述定理的形态，作更直接的细微表述。
下面本文就来作这样的表述——

    定理：行政地图皆四色可染。
    证明：任何行政地图，当地域个数多于5个后，皆可计数为5n(n=1、2、…)+R(R∈1、2、3、4)个。其中，5n地域不过就是n组“五地域四色盘”的一个有序集合而已，而对于用给定四色作染色区划，每组“五地域四色盘”的染色步骤是同一的：据排列乘法公式从4种色源中取3种有24种方案可取，先将外露四个地域染成适中的外露三色，然后将第5个地域（或内藏地域）染成第四色，就得相邻二域地域被染成了不同颜色；而R(R∈1、2、3、4)个零星地域因不多于4个，故对于用给定四色作染色区划，使相邻二域地域被染成不同颜色，显然是不成问题的。据左述染色程式所得结果，就得地图上全部相邻二域地域，用四种色源就将其染成了不同的颜色。定理得证。

沟道效应

第七楼的表述，不知能成为“四色定理”的一个表示否？

沟道效应

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沟道效应

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