我与朋友在微信是聊四色问题（五）

雷明85639720

我与朋友在微信是聊四色问题（五）
雷  明
（二○二一年二月二十四日）

一日刘千栋先生要我给他画的一个图进行着色，温千里先生认为这个图简单，重新给出了一个图也要我进行着色。所以就产生了一下的对话。
雷明：温先生，请你对刘千栋的图与你的图着色！我是不会用你的方法的！各人的方法可以完全不一样，但都避免不了解决颜色冲突问题！
刘千栋：雷老说的对，各人方法不一样，颜色冲突都是大家面对的问题。所以，着色时有两个要素，一是方法，二是如何避免或解决颜色冲突。
雷明：对的！
温先生，不知你用去掉4度顶点的方法，证明四色猜测的方法的论文写出来了没有？若还没有，先用你的方法对你的图与刘千栋的图进行一下4一着色也可以呀！
含有悬挂顶点的极大图（即含有“国中之国”的地图的对偶图），在着色时可以把度为1，2，3的顶点去掉，去掉后的图仍是一个极大图。对其他顶点无论怎么着色，所去掉的这些度为1，2，3的顶点至少还是有四种颜色之一可着的。但是如果把4度的顶点也去掉后，图一方面不再是极大图了，因为去掉该顶点后，图中就产生了一个四边形的面。更重要的是去掉的这个顶点的四个围栏顶点有可能占用完了四种颜色，仍是一个颜色冲突够形。这种情况下，去与不去有什么不同呢？不都还是要处理这个颜色冲突构形吗？说不定不去掉它，在这个顶点上还不会产生颜色冲突呢！所以我认为还是不去掉4度顶点为好。其他的度为1，2，3的顶点，去不去都可以，这就要看着色者的喜好了。我这里强调了极大图，不光是因为地图的对偶图是极大图，还国因为四色向题是由对地的着色而提出的。当然任意的平面图也是可以4—着色的，但就不存在极大图那样每个顶点都有一个闭合的围栏了，因为图中有的顶点就不可能与所有的围栏顶点都相邻。
温千里先生很早以前就与我探讨过着色时去掉4度顶点的问题，并且很胸有成竹的说他已经成功了。可是从未看到过他对具体图的具体着色操作。这两天来，他也答应对他自已的图和刘千栋的图，用去掉4度顶点的方法进行着色，却怎么迟迟不见拿出结果来呢？
刘千栋的图没有着色，这就为难我了。我不可能一个顶点着一下，再都给你说一次操作方法，何况你也没有顶点各称（序号），我也没有办法叙述。请你自已先着色，遇到了颜色冲突或染色困局时，我可以来给你解决。你看好不好。另外我的计算机有了问题，还没有去修理，在手机上是没法着色的，要在计算机上着好后再转发到微信上。不知你能否理解。
我的着色方法是：先选一个顶点，着色后再一个顶点接一个顶点去着，当遇到待着色顶点的度是大于5时，其外围顶点又占用完了四种颜色时，就用破圈法（以前给你讲过破圈法的）把待着色顶点移到度是小于等于5的顶点上，然后再分析以这个顶点为待着色顶点的构形的类型，并用与证明时相同的方法进行解决。在遇到第二个，第三个颜色冲突时，还用同样的办法处理就是了。
温先生的图，看不清着的什么颜色（表示颜色的字母或数字），且有一连串的顶点是用了同一颜色（桔黄色）的，本身着色就是错误的，并且也没有把图着得只剩下一个顶点未着色，不知是什么意思？我着不了，因为不明白你画这个图是想要我回答什么问题的？
还有一件事，你问了我，在球体内有多个穿过孔洞，这些洞在球体内又相互交叉时，如何确定曲面的亏格向题，我已回答了你，但不见你的回复，我的回答是否正确呢？你也得表个态呀！
以上着色，我最先从无限面所对应的8度顶点开始。对其外围顶全着上色后，再选一个着过色的顶，对其外围未着色的顶点进行着色，然后再选一个已着过色的顶点，再对其未着色的外围顶点着色。一直就这样进行下去，我没有遇到待着色顶点的外围顶点用完了四种颜色的问题，着色很顺利。关键的问题是要把地图变成对偶图，这样着色要方便多了。
请以后不要再给我出这样的“难题”了，只着色没有意思，关键是如何证明四色猜测。我有把握对你来的图都可进行4—着色，以后我不再着了，对不起了。请以后再不要用着色占用我的时间了。
温千里先生，你那着的是什么色呀？相同颜色的顶点连在一起，那叫着色吗？把你的图收起吧，别在这里丢人显眼了。既然你这样着了，你总得说出个道道来，给我这个图是想要我干什么呢？你一个字也不说，我知道你想干什么呢？怎么回答呢？这一点道理也不懂吗？
所以我主张给不可避免的构形着色，简单图，复杂图，只要有相同的构形结够，解决办法都是一样的。这就是用构形证明四色猜测的好处。
请你把你图中的颜色去掉，我来给你试着一下，你看如何。别的问题也请你回答，我以前给你回答的问题是对还是错呢？
你怎么三天打渔两天晒网呢？要讨论就尽一个问题把它进行到底。没有结果是不行的！
看来，温千里先生认为图越复杂就越难着色。其实并非如此。而是越复杂越好着。你所给的图的确比二十面体的图好着多了。虽然二十面体的顶点很少，但一定会遇到颜色冲突问题的，弄不好可能还会遇到多次。而众多和刘千栋所给的上面两图，我却没有遇到颜冲突的问题，都是一次着色成功。对于二十面体图来说，如果不会解决颜色冲突问题，别看它的顶点只有十二个，但可能你对其就不可能4—着色，但你却不能说四色猜测就不正确，因为你对其着不了色、但不等于别人就不能对其进行4—着色。所以说，着色与证明完全是不同的两回事。着色针对的是具体的图，而具体的图是无穷多的，永远也着不完。而证明则针对的是有限的不可避免的非具体极大图的颜色冲突构形，只要把仅有的几个颜色冲突构形解决了，在对任何具体图着色时，无论是遇到那种颜色冲突时，就都是用同样的方法去解决就可以了。这就是证明与着色不同的地方。着色是对证明时总结出的解决颜色冲突向题的方法的应用。
温千里：你说着色和证明是两回事，这是错误的，要用证明的方法来着色才是正确的。
雷明：证明以后，在着色中使用证明时的解决办法就可以了。证明只要一次就可以确定四色猜则是否正确，而着色却是经常的事情，且每次的结果（模式）都不一定相同。或许我的说法用词不准，不妥吧！请你把你对你的图的着色拿出来看看。
刘千栋：证明和着色是两会事，证明解决的是理论问题，着色解决的是实际问题。
雷明：对头！
任何多面体对应的都是一个平面图，二十面体对应的图是一个有十二个顶点，每个顶点都是5度的极大平面图，这里我说的当然就是对顶点着色了。
刘千栋，光看懂我的着色方法没有用，一次与一次的方法都不相同，任何人也都有自已的着色方法，随便怎么着都是可以的，不要求大家都相同。只要在遇到颜色冲突时能够解决就行。这就是证明时一定找出完备的不可避免的颜色冲突构形并解决之的作用。
刘千栋：任何多面体对应的都是一个平面图，二十面体对应的图实际是一个有十二个面的互为5个面相围的地图的对偶图。
雷明：你说的这是十二面体对应的图。不应叫对偶图。二十面体对应的图是十二个顶点，二十个面，各面都是三边形，各顶点却是5度。图中共有三十条边，代入欧拉公式，两边是相等的。
刘千栋：任何多面体对应的都是一个平面图，二十面体对应的图实际是一个正十二个面体的对偶图。
雷明：这下说对了。你为什么要绕这个弯子呢？二十面体与十二面体本来就是互对偶的嘛。
下面是温先生给我发的微信和我的回复：
温千里：我对刘老的图是这样着色的：去掉4度的点，再去掉4度的点，现在给这图着色，肯定比原图容易，再把这两点加进去，可以吧！
雷明：你拿出来着色图再看吧！你去掉了原图中的某些顶点，然后着色，但最后都得把去掉的顶点加上去。并且都得分步进行画图，不能只是一说了事。你还是把你的图也着一下色把！
（当温千里只拿出了对我所构造的图的着色并没有对他的图和刘千栋的图进行着色，问我，能否看明白后我回答）
雷明：我能看明白。只是好几处存在前图已着的颜色，到了后图时又变化了。这实际上就是你在解决颜色冲突问题的过程。不过这样的颜色冲突很不明显，不如不去掉4度顶点时明显。不过你的第一图中还存在一个4度顶点，不知你为什么又不去掉呢？另外，你这种方法只能是对具体图进行4—着色，不可能证明四色猜测，因为你不可能把无穷的图都着完，所以它对证明四色猜测是没有什么用处的。证明四色猜测还得使用非具体极大图的构形。你还没有对刘千栋的图和你的图进行着色呢？各人都有各人的着法，但都避免不了颜色冲突现象，最后一定都能4—着色。但着色不等于就是证明。这一点你必须明白。我们的主要目的是证明四色猜测是否正确！
我的图（带着色的图）就是一个颜色冲突问题，只解决一次就可以了，而你却遇到并解决了几次、颜色冲突问题。所以说还得要专门去构造，研究不可避免的颜色冲突问题，才是从理论上正确的解决四色问题的正确方法。某个人能不能对某个图进行4—着色并不是主要问题。
刘千栋：这是温千里的一种着色方法，我建议温千里不要把一个图化简的最少时才着色，化简的理念要放在脑海里，在原图里直接着色。从原图到化简，再到原图做了无用功。什么时候你不化简就可以完成着色，并且很熟练，你的着色方法就从实践上升为理论了。有了着色理论就可以成功证明四色猜测了。
雷明：但他也是不可能把所有图都着完的，四色猜则什么时间才能得证呢？所以只会着色还是不行的。还必须构造不可避免的构形，才能解决问题。着色不等于证明，这你也说过了。着色解决实际问题，证明解决理论问题。从一百年前就通过着色实际说明了任何平面图都是可4—着色的，而现在证明四色向题主要是要从理论上解决问题的。刘千栋，你怎么一会儿这样看法，过一会儿又成了另一种看法呢？观点变得也有点快了吧！你的哪种看法是正确的呢？你等一下，看一看温千里能否对你的图与他的图，能否顺利的用去掉4度顶点的方法进行4一着色，然后再做结论吧！
刘千栋：雷老，我认为四色猜测的证明的基础理论就是着色的方法理，针对温千里的问题，他必须在具体的着色很成熟时才可能有一套他的理论。只有的着色理论成功了，他才有可能去证明四色猜测。现在好多人都想用自己的着色理论证明四色猜测的成立。所以，温千里也不另外。因此，我才对他说了以上的我对他的建议。当然这个建议只适合温千里。
雷明：我认为只会着色，还是不可能证明四色猜测的。因为你也不可能把所有图都着完，也不会知道你已着过色的图中所遇到的颜色冲突问题是不是完备的，也不可能知道在你所遇到的颜色冲突构形外，还有没有颜色冲突向题了。而只有人为的构造各种颜色冲突构形，并证明除了这些，再没有颜色冲突构形了，这个构形集才是完备的，不可避免的。这些构形的着色都可以的解决了，也才能说明四色问题也就解决了。然后在着色过程中，遇到那种冲突构形时，就去仿照解决就可以了。任何人不可能对任何图都能进4—着色，但这并不能说四色猜测就不正确。因为四色猜测一但从理论上证明是正确的，就不可能又是不正确的。你某个人对某个图不能进行4—着色，只能说明他的着色水平低，而不能说明四色猜测就不正确！
温千里：我的意思是对含有4度点的图去掉后再看颜色冲突。
雷明：你去掉4度顶点后，看到没有看到颜色冲突呢？你的图中有没有呢？1度，2度，3度顶点是不会发生颜色冲突的，你把可以发生颜色冲度的4度顶点也去掉了，怎么可能会发生颜色冲突呢？只是在你恢复4度顶点时，才发生了颜色冲突。所以你不得不对前面已着过色的顶点的颜色进行了改动。这我在上几贴中已经说过了。当然你着色过程中是可以对已着过色的顶点的颜色进行改动的。但你要知道这就是在解决颜色冲突问题，不然你是不会去再改动的。我认为颜色冲突问题既是避免不了，还不如不去掉任何顶点，直接在原图上着色就可以了！
刘千栋：我赞成雷老的意见，请温千里采纳，免的你多走弯路，赶快赶紧改变去4度的想法，否则你的路断了。因为，你这条路我走过，现在又有雷老这样的理论分析，证明我放弃去4度对了，希望你另起炉灶。
雷明：从温千里对我所构造的图的着色看着色与证明的不同之处。我构造的图不是一个具体的图，而是一个构形。”其只有一个顶点未着色，且是颜色冲突的顶点。我这个图是能够代表所有的无经过围栏顶点的环形链的颜色冲突构形的，只能用转型交换法进行解决。不光这个构形是这样，所有的象这样的无经过关键顶点的环形链的颜色冲突构形都可以用转型交换法进行解决。这就是通过证明这一类构形的可约性，得到的解决该类构形的统一方法。这也就是理论证明。用这个结论是可以去指导着色实践的。
而温先生把我的构形中的所有颜色都去掉，图虽仍未变，但就不是构形，而是一个具体的极大图了，只能是个别的图，而不能代表别的图。你不能说这个图你进了4—着色就说明四色猜测是正确的。你着了这个图，再给一个图你就不一定能着上了。而我的这个构形解决了，再给一个有同样特征的构形，用同样的方法也是可以解决的。这就是证明与着色不同的地方。记明是解决一类相同特征的构形的着色的理论问题的，而着色则只是解决某一个图的着色的实钱问题的。二者是大大的不同的两回事。
另外，图是无穷多的，你也是永远着不完的，着不完，猜测就不可能被证明是正确的。而不可避免的颜色冲突构形则是有限的几个，是可以都能解决完的。所有不可避免的颜色冲突构形都可以解决了，四色猜测也就被证明是正确的了。这也是着色与证明的不同之处。
相同的同一类构形的顶点可以多可以少，但都用同样的方法可以解决。所以温先生认为顶点多了，图就复杂，图复杂了就难着色了的理论是错误的。不用管简单还是复杂，遇到了颜色冲突，只要抓住其中的几条主要的链，一下子就可以得到解决了。关键的问题是要掌握相反链是不能互相穿过的理论，以及如何进行颜色交换的理论。


雷  明
二○二一年二月二十四日整理于长安

注：此文已于二○二一年二月二十四日在《中国博址网》上发表过，网址是：