地图四色猜测证明的提纲

雷明85639720

地图四色猜测证明的提纲
雷  明
（二○二○年七月二十九日）

地图四色猜测是：给任何一张地图染色，最多四种颜色就够用了。
1、把地个地理学中的问题转化成一个数学问题：
地图本身就是一个无割边的3—正则的平面图，给其面上的染色，就相当于对其对偶图——极大平面图的顶点着色。这就把一个地理学中的问题转化成了一个数学问题。
2、把一个研究对象是无穷多的问题转化成有限的问题：
对一个平面图着色，把最后一个顶点还未着色而是待着色顶点时的图叫做“构形”。由于任何平面图中一定存在着顶点度是小于等于5的顶点，所以在着色时，总可以把待着色顶点放在度是小于等于5的顶点上。这样就可以只研究待着色顶点的度是小于等于5的构形就行了。这就把一个研究对象是无穷多的问题转化成了一个有限的问题。由这五种待着色顶点的构形就构成了平面图的不可避免构形集。
3、平面图不可避免构形的更细分类：
把与构形的待着色顶点相邻的顶点叫做“围栏顶点”，简称为“围栏”。把由两种颜色交替着色的序列叫做“色链”，简称为“链”。某条链的两个端点顶点分别是围栏顶点时，就叫“连通链”。把在中途有交叉顶点的、有同一个起始顶点的两条连通链，叫做“双环交叉链”。所谓“环”就是指连通链与待着色顶点一起构成了一个圈。
把构形中有没有“双环交叉链”，把不可免构形分为“无双环交叉链”的K—构形和“有双环交叉链”的构形。而“有双环交叉链”的构形又可根据其是否可以连续的移去两个同色可以再分为“可连续移去两个同色的K—构形”和“不可连续移去两个同色的H—构形”。“不可连续移去两个同色的H—构形”还可根据图中有没有经过围栏顶点的环形链进一步再分为“有环形链的H—构形”和“无环形链的H—构形”。“有环形链的H—构形”还可根据其中环形链的类型进一步再分为“有A—B环形链的构形”和“有C—D环形链的构形”。
4、各种细分类型的不可免构形的解决办法：
4、1  不管是有双环交叉链的构形，还是没有双环交叉链的构形,只要是K—构形（即坎泊构形）都可用“空出颜色的交换法”（即坎泊交换或K—交换）去解决，最多只需要交换两次（需要空出两个同色时的构形交换两次，空出其他三种颜色之一的构形只需交换一次）。如图1的一个5—轮构形，从某个围栏顶点（如图1中的顶点4）起交换该顶点的颜色与其一个对角顶点的颜色构成的不连通链中的所有顶点的颜色，就可以移去(或空出)这一顶点的颜色，给待着色顶点V着上。这就是坎泊证明中所用的“空出颜色的交换方法”。

4、2  对于有双环交叉链的H—构形（即赫渥特图类构的形），当构形中有经过围栏顶点的环形链时，用“断链交换法”去解决，使构形中的双环交叉链断开，转化成K—构形(如图2)。最多只需要交换3次（需要空出两个同色时的构形交换3次，空出其他三种颜色之一的构形只需交换两次）：其中有A—B环形链的构形交换A—B环内、外的任一条C—D链；有C—D链形链的构形交换C—D环内、外的任一条A—B链；既有A—B环形链，又有C—D环形链的构形，可以随便交换A—B链和C—D链中的任何一条都可以。如图2的一个H—构形，其中有顶点2，4，5和8都在双环交叉链上，只要改变了四个顶点之一，图就转化成了一个无双环交叉链的K—构形了。双环交叉链断开了，所以叫做“断链交换法”。

4、3  对于无环形链的H—构形，因为经过围栏顶点的环形链，只能用“转型交换法”去解决（当然，个别的图虽然可以用特殊的方法去解决，但转型交换法却是一个对解决该类构形中的任何一个构形都普遍适用的方法），再去分折构形属于哪一类，若图仍是无环形链的构形时，就继续转型，直到图转化成可以连续的移去两个同色为止。如图3的无环形链的构形，从两个同色的围栏顶点之一起交换该顶点的颜色与其一个对角顶点的颜色构成的不连通链中的所有顶点的颜色，就可以使构形由原来的123—BAB型转化成451—DCD型或234—CDC型，构形峰点的位置和颜色都发生了变化。所以叫做“转型交换法”。

5、不可免构形最大交换次数的确定：
在以上各种构形的解决办法中，除了无环形链的H—构形外，交换的次数都是有限的，而只有无环形链的H—构形的交换最大次数还不知道。所以也一定要想办法给出该类构形“最大的转型次数”，而且一定还要是一个有“具体数的有限数值”的数。否则，还是不能证明四色猜测就一定是正确的。这个数值我通过对非具体图的构形转型交换的实践和纯理论（即因为E—图是一个无穷周期循环转型的构形，而无环形链的构形却是一个非E—图的构形，转型的次数是不会发生周期性的循环转型的）上两个方面的证明，都证明了该类构形的最大转型次数是不会大于20次的。这只是一个理论值，而实际对具体的图转型时是不会大于5次的。这就能证明四色猜测是正确的了。

雷  明
二○二○年七月二十九日于长安

注：此文已于二○二○年七月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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