此发牌游戏之解难于上青天

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-21 12:53
请教 程老师：

能求出所有本原勾股数的公式，

设 a= 2^(k+1)*(2^k+2n -1) 
即 a=2* 2^k*(2^k+2n -1) 相当于 a= 2uv
其中u = (2^k+2n -1) ， v= 2^k，这里，当k=0时，u=2n，v=1；当k＞0时，u=奇数，v=偶数（但只含因子2），所以a、b、c不是全部解，但是，由于2^k与奇数是互质的，所以也能得到一部分本原勾股数。

蔡家雄

求 A^2+(A+23)^2=C^2 的本原勾股数通项公式

设 Pn= -2,1, 0, 1, 2,  5, 12,  29,  70, 169, ...

设 Qn= -1,1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, ...

设 Un=P(n+5)+Q(n+1)=6,13,32,77,186, 449, 1084, ...

设 Vn=P(n+4)+Q(n+0)=1, 6, 13,32, 77, 186,   449, ...

设 Mn=P(n+2)+Q(n+4)=7,18,43,104, 251, 606, 1463, ...

设 Nn=P(n+1)+Q(n+3)=4, 7, 18, 43, 104,  251,  606, ...

得到 A^2+(A+23)^2=C^2 的本原勾股数通项公式

其一：(U^2 - V^2)^2+(2UV)^2 = (U^2+V^2)^2

其二：(M^2 - N^2)^2+(2MN)^2= (M^2+N^2)^2

蔡家雄

根据勾股数的总公式 进行变换可得:
a^2+(a+p)^2 =c^2 有 本原勾股数的解，
①a为奇数时，p=（1/2）*k^2 - (2n -1) 是素数，k为偶数，n为正整数；
②a为偶数时，p=(2k -1)－（1/2）*n^2 是素数，n为偶数，k为正整数。
这与您的p=2k^2 - (2n -1)^2是一致的。

判断：p=(1/2)*8^2 -19 =13 是素数，但 a^2+(a+13)^2 =c^2 不是 本原勾股方程。

判断：p=109 -(1/2)*10^2 =59 是素数，但 a^2+(a+59)^2 =c^2 不是 本原勾股方程。

我的是：奇平方数 减 倍平方数，或：倍平方数 减 奇平方数 ，

蔡家雄

本原勾股数新公式

若 2n -1 与 k 互素，

且 a 与 p=∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣ 互素，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p=∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣有 t个不同的素因子，

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。


求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =p 的最小2^t组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数，且 x < y，且 x与y 互素，

求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =23*49 的最小2^2组 正整数解，

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解，

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn，得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项，

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。

费尔马1

蔡老师新年好！

您的:求 A^2+(A+23)^2=C^2 的本原勾股数通项公式
设 Pn= -2,1, 0, 1, 2,  5, 12,  29,  70, 169, ...
设 Qn= -1,1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, ...
……………………………………
非常棒！

蔡家雄

没想到：蔡氏勾股方程竟与费尔马数联系在一起，真的是天缘巧合。

16^t+1 的所有素因子p必具有∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣的形式。

16^1+1=17
16^2+1=257
16^3+1=17*241
16^4+1=65537
16^5+1=17*61681
16^6+1=97*257*673
16^7+1=17*15790321
16^8+1=641*6700417
16^9+1=17*241*433*38737
16^10+1=257*4278255361
16^11+1=17*353*2931542417
16^12+1=193*65537*22253377
16^13+1=17*858001*308761441
16^14+1=257*5153*54410972897
16^15+1=17*241*61681*4562284561
16^16+1=274177*67280421310721

请 费尔马1 给出证明。

祝：程老师新年快乐！万事如意！

费尔马1

蔡老师您好:
蔡氏勾股方程太奇妙了！竟然与费马数有密切的关联，还有数字17循环出现，257、241、65537……也循环出现，这个规律只有蔡老师才能解释啊！学生我还没有参透其中玄机啊！

蔡家雄

猜想：费马数 16^t+1 必为 无平方因子数。

即：16^t+1 不可能被某个素数的平方整除。

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-1-30 21:12
猜想：费马数 16^t+1 必为 无平方因子数。

即：16^t+1 不可能被某个素数的平方整除。

蔡家雄老师的题:
求证:16^t+1=（2n－1）^2－2k^2
证明:16^t+1=（4^t）^2+1=（4^t+1）^2－2*4^t
∵2*4^t=2*（2^t）^2
令4^t+1=2n－1，2^t=k
则16^t+1=（2n－1）^2－2*k^2

费尔马1

猜想：费马数 16^t+1 必为 无平方因子数。
即：16^t+1 不可能被某个素数的平方整除。
蔡老师的这个猜想（结论）完全正确！由学生我的证明可以知道，（a+b）^2－2ab=a^2+b^2，而b=1，故a、b不可能成为勾股数。