此发牌游戏之解难于上青天

费尔马1

发牌游戏规则:奇数数列1 3 5 7……（2n－1），手里牌的编号是连续的，编号是1 2 3 4……（2n－1），但手里牌的总张数只能是奇数，从上到下牌的编号是1 2 3 4 5……奇数（2n－1），从上面拿2张放到最下面，再扔掉两张，一直都是拿两张扔掉两张，最后手里只剩下一张牌，试用n的代数式表示最后一张牌的编号？
解:开始手里牌的编号为，1 2 3 4 5……J，其中J为奇数。
①由奇数数列的通项公式得对应于J的项序为n，n=（J+1）/2；
②求参数k=（1/2）*〔㏒2【3n+2】－1〕，注:k取整数，（即小数部分皆舍去）；
③再求参数d=（1/3）〔3n－2^（2k+2）+1〕；
④当d≤0时，A=（1/3）〔12n－2^（2k+3）－1〕；
⑤当d＞0时，B=（1/3）〔12n－2^（2k+4）－2〕。
其中，A、B表示最后一张牌的编号，A为奇数，B为偶数。

费尔马1

请老师们验证！谢谢！

费尔马1

这个题的解法很巧妙，但解题过程还是比较复杂的，按理说答案只有一个通项公式，我也是没有办法，才用④⑤两个通项公式的，不过也还凑乎啊！因为题目没有要求写出最后一张牌编号的通项公式，只要求用n的代数式来表示其编号。
根据我的答案，①②③④⑤五个公式，可以求出所有的J值对应的最后一张牌的编号。（J为奇数）

费尔马1

特请老师们审核！谢谢老师！

蔡家雄

请教程老师：这个公式
可以求出 所有的本原勾股数吗？

设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素，

设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+4kn -2n
    c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2

则 a^2+b^2 =c^2

费尔马1

蔡老师您好:您的这个公式可以求出 所有的本原勾股数。
学生我受你的启发，又得到另一个与你类似的公式:
设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素，
设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+2n－2k^2+2k
    c= 2*n^2+2n－2k^2+2k+(2k -1)^2
则 a^2+b^2 =c^2

费尔马1

蔡老师您好:您的方程是对的，三个数永远是两两互质的。
据程氏集合两分法，设A与B互质，则A与（A+B）互质，又设M=A+（A+B）则M与A互质，M与（A+B）互质，故M、A、（A+B）两两互质。无论它们是不是平方数，都是互质的，无论它们是不是n次幂，也都是互质的。
若继续加下去，它们仍然互质。例如，A、M、（A+M）两两互质。
同理，设M=B+（A+B）则M与B、（A+B）互质，故M、B、（A+B）两两互质。无论它们是不是平方数、n次幂，三个数都是两两互质的。

费尔马1

程氏集合两分法:
设A与B互质，A+B=M，A－B=N
则M、A、B两两互质；N、A、B两两互质。
当然，程氏集合两分法还有更一般的形式，见本论坛《素数的来源与“1－1”定理》。

费尔马1

勾股数通式有无穷多个，其中一个是总公式（本原）:a=（u^2－v^2）/2，b=uv，c=（u^2+v^2）/2，其中u、v为互质的奇数，u＞v
这个总公式可以有无穷多的变化，例，取u=4n^13 +7，v=2k^2－1，就可以得到一组勾股数通式。……

费尔马1

蔡老师您好:根据勾股数的总公式 进行变换可得:
a^2+(a+p)^2 =c^2 有 本原勾股数的解，
①a为奇数时，p=（1/2）*k^2 - (2n -1) 是素数，k为偶数，n为正整数；
②a为偶数时，p=(2k -1)－（1/2）*n^2  是素数，n为偶数，k为正整数。
因时间关系，我就不举例了。
您的上述公式可能是根据蔡氏勾股数进行变换而得，具体如何，还请老师指点！谢谢！