费尔马1的费马大定理

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  费马大定理的完整证明

               
费马大定理:任何一个大于二次的幂，都不能分成两个同次幂。
即c^n≠a^n+b^n
其中，a、b、c、n都是正整数，n>2，a、b、c两两互质，且c>a>b
证明:费马大定理证明的详细步骤:
①abc不成三角形，即a+b≤c；
②abc成钝角三角形，即a+b>c，a^2+b^2<c^2；
③abc成直角三角形，即a+b>c，a^2+b^2＝c^2；
④abc成锐角三角形，即a+b>c，a^2+b^2>c^2（包括a＝b，a≠b两种情况）。
其中，①②③显而易见，容易证明。
最关键的一步是④。
下面是④的证明:
在锐角三角形abc中，c最大，有两种情况:⑴a＝b，⑵a≠b
⑴当a＝b时，假设c^3＝a^3+b^3
则有c^3＝b^3+b^3即c^3＝2b^3
两边开立方，有c与b不能同时为正整数。
所以，命题成立；
⑵当a≠b时，c^2<a^2+b^2
要使两边相等且左边符合c^3
则左边乘以c，右边乘以h，h<c，
有c^3＝（a^2+b^2）h
当h≠a或者h≠b时，有关数据与这个锐角三角形abc无关；
假设当h＝a时，恰好两边相等
即c^3＝（a^2+b^2）*a即c^3＝a^3+ab^2
∵a≠b∴ab^2≠b^3
假设ab^2＝k^3，k为正整数，
则a、c、k必含有a的分解因子，与题设的互质相矛盾，
故，c^3≠a^3+b^3
同理可证，c^n＝（a^2+b^2）*a^（n-2）≠a^n+b^n
由上述⑴与⑵，这就证明了所有的锐角三角形。
所以，费马大定理成立。

评论

④的证明:
⑵当a≠b时，c^2<a^2+b^2
要使两边相等且左边符合c^3
则左边乘以c，右边乘以h，h<c，
有c^3＝（a^2+b^2）h
当h≠a或者h≠b时，有关数据与这个锐角三角形abc无关；

问题：
(2)当a≠b时，c^2<a^2+b^2
要使两边相等且左边符合c^3
则左边乘以c，右边不一定同乘以h，右边也可以a^2乘以h，b^2乘以H，h<c，H<c，
有c^3=a^2 h+b^2 H
当h=a，H=b
c^3=a^3+b^3也可能成立，且a,b,c两两互素。
因此，(2)的证明不成立。

如果左边乘以c，右边乘以h，h<c，假设h=a等式成立，即右边乘以a，
因为右边展开之后的两项已经不互素，即c^3等于右边不互素的两项之和，
换言之，c^3不等于右边互素的两项之和，
即己经假定n=3时费尔马定理成立，再证明n=3时费尔马定理成立，是以结论证结论，典型的循环论证。

费尔马1

老师您好:感谢您的关注！
④的证明您有质疑，我给您解释一下，④中的三个数a、b、c代表了所有的锐角三角形的三个边，即锐角三角形的集合，｛a、b、c｝，当然a、b、c必须符合锐角三角形的条件，您说的c、a、b与c、m、n是一样的，没有什么区别。您可以任意拿三个数当做a、b、c，例如p、q、k这三个数也可以当做a、b、c，我的一步④的证明就证明了所有的锐角三角形，根本不再要去考虑cmn之类的，注意，其中运用了一个重要题设条件，a、b、c各不相等且两两互质。

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一个命题成立，其逆否命题一定成立。

(4)的逆否命题为：
若c^3=a^3+b^3，则c^2<a^2+b^2不成立。
试证一下该命题如何？

费尔马1

您在转移命题啊！没有像你说的那样的命题的:若c^3=a^3+b^3，则c^2<a^2+b^2不成立。
费马大定理的逆否命题是，若c^n=a^n+b^n，则n不大于2。
您看看你提的问题:c^3≠a^3+b^3但c^3=m^3+n^3可能成立。
有关数据是什么数据？能不能说的清楚一点？
哈哈，我的证明中的abc难道就不能包括你所说的cmn吗？例如abc是2、3、4，那么
abc是7、8、10，就不行了吗？

费尔马1

您考虑题目中的一个重要题设条件了吗？a、b、c各不相等且两两互质。您知道这个互质的条件对证明有多大的作用吗？
其实，题目中互质的这个条件，就是以防您提出的问题:c^3≠a^3+b^3但c^3=m^3+n^3可能成立。
有关数据是什么数据？能不能说的清楚一点？

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费尔马1 发表于 2019-8-31 03:45
您在转移命题啊！没有像你说的那样的命题的:若c^3=a^3+b^3，则c^2

本帖主要是讨论(4)的证明。如果你不能证明(4)的逆否命题，说明(4)的证明不成立。

费尔马1

discover 发表于 2019-8-31 08:12
本帖主要是讨论(4)的证明。如果你不能证明(4)的逆否命题，说明(4)的证明不成立。

请问老师，④的原命题的证明对吗？
即使是④的逆否命题，也应该是这样的:
若c^n＝a^n+b^n则c^2不小于a^2+b^2，且n不大于2。
我用抽干了水“拿鱼法”，按部就班，步步为营，稳扎稳打，脚踏实地地证明了费马大定理，我才不管什么逆否命题呢！
说实话，证明中的①②③④就是三个数组合形式的四个集合。

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费尔马1 发表于 2019-8-31 08:36
请问老师，④的原命题的证明对吗？
即使是④的逆否命题，也应该是这样的:
若c^n＝a^n+b^n则c^2不小于a^ ...

多说无用。
证明(4)的逆否命题看看，自然知道(4)的证明错在哪里。

费尔马1

你的那不是④的逆否命题。
请问老师什么是逆否命题？原命题中n大于2这个条件在逆否命题中为什么不否？
你让我证明逆否命题，请问原命题的证明是否对？如果原命题的证明是错的，那么证明它的逆否命题还有意义吗？

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只需证明n=3的逆否命题即可。
若c^3=a^3+b^3，则c^2不小于a^2+b^2.
自己证明，自己才能发现错误。