[原创几个近似表达式

LLZ2008

参与主贴讨论，我非常欢迎，其他的，我就无暇顾及了，也不想招惹什么，我们都还是有点分辨能力，知道该怎么做事。

大傻8888888

李先生：你好！
    我认为当N→∞时，lnN→∏(1-1/p)。而你在“几个近似表达式”一文中却证明当N→∞时，lnN→(1/2)∏(1-1/p)。我认为你的证明问题出在第三步上,前两步当然不会错，而第三步当N→∞时，lnN里的N→∞，可是∏(1-1/p)的取值却是√N→∞，这样就造成了错误。如果取值一致，当N→∞时，则应该是lnN→∏(1-1/p)。以上意见仅供参考。

LLZ2008

[这个贴子最后由LLZ2008在 2010/11/16 09:20am 第 1 次编辑]

大傻8888888先生：您好！
    您看过luyuanhong教授回白新岭先生的证明了吗? luyuanhong教授第三步和您的意思一样，所以得出了极限为1 的结果。
    但事实上，式子∏(1-1/p)里的p≤√N 的，我们应用欧拉的结论，当√N→∞时，照我那样用欧拉结论，应该是用对了的。当√N→∞时，能保证N→∞，只不过是比√N高阶的无穷大，在极限运算中是允许的，推理是严密的。另外，我看了luyuanhong教授给白新岭先生回帖的证明后，他在这一步用得不对，因为他没有尊重p≤√N这个客观事实，而仅仅照套了欧拉结论，我将这一点改过来，写成帖子在基础数学论坛发出向luyuanhong教授请教，如果我改的这点是错误的，luyuanhong教授肯定会指出我改了是错的，因为是在他的证明基础上改的。
   另外，您可以在基础数学查看我向luyuanhong教授请教的帖子，我也就不点在前面来了。

大傻8888888

[这个贴子最后由大傻8888888在 2010/11/16 09:50am 第 1 次编辑]

luyuanhong教授的证明是对的，你的证明可能是不允许的。
当N→∞时，lnN→∏(1-1/p)。设lnN=∏(1-1/p)∏(1-1/pi)，其中p≦√N，√N＜pi≦N。这时∏(1-1/pi)的值具体是多少还需要进一步探讨，我认为这个值应该趋近1或者一个定值，不太可能是1/2，但可以肯定的是小于1。

LLZ2008

[这个贴子最后由LLZ2008在 2010/11/16 10:43am 第 1 次编辑]

下面引用由大傻8888888在 2010/11/16 09:41am 发表的内容：
luyuanhong教授的证明是对的，你的证明可能是不允许的。
当N→∞时，lnN→∏(1-1/p)。设lnN=∏(1-1/p)∏(1-1/pi)，其中p≦√N，√N＜pi≦N。这时∏(1-1/pi)的值具体是多少还需要进一步探讨，我认为这个值应浮?..

    “这时∏(1-1/pi)的值具体是多少还需要进一步探讨，我认为这个值应该趋近1或者一个定值，不太可能是1/2，但可以肯定的是小于1。”
     您现在也认为λ≠1而是小于1了， 那我们的观念就基本一致了。您仔细地想想我的第三步，不仅当√N（或N）→∞时，λ=1/2,而且，当N为有限值时，1/2＜λ＜3/2。

大傻8888888

当N为有限值时，λ＜1/2，与实际值不符。

白新岭

我记得有一个帖子比较∏(1-1/Pj)与1/LN(n)的大小问题，还是比值，这里的Pj是素数，而且小于√n.从实际分析上，∏(1-1/Pj)是大于1/LN(n)，因为有两种不同的素数占有率与n相乘，前者大，后者小，根据我给的关系式，在用上luyuanhong教授的一个变换式子，可以得到它们的比值，只是理论上证明它们是等价的，即比值极限为1.
按qingjiao说的或知道的，连乘积的式子计算出来的素数个数/素数定理计算出来的素数个数大概=1.123
<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=8607

LLZ2008

下面引用由大傻8888888在 2010/11/16 10:14am 发表的内容：
当N为有限值时，λ＜1/2，与实际值不符。

与实际是非常吻合的，我们对表达式N/lnN中的N略作限制，就可以得到π(N)＞N/lnN＞N/2*∏(1-1/p)。

大傻8888888

当N→∞，设lnN=∏(1-1/p)∏(1-1/pi)，其中p≦√N，√N＜pi≦N时，∏(1-1/pi)的值肯定的是小于1。但是这并不等于实际值时小于1，实际值也可能大于1，总之应该趋近于1。具体误差是多少如能解决，哥德巴赫猜想也就解决了。

LLZ2008

下面引用由白新岭在 2010/11/16 10:20am 发表的内容：
我记得有一个帖子比较∏(1-1/Pj)与1/LN(n)的大小问题，还是比值，这里的Pj是素数，而且小于√n.从实际分析上，∏(1-1/Pj)是大于1/LN(n)，因为有两种不同的素数占有率与n相乘，前者大，后者小，根据我给的关系式　...

我前面说得就是白先生让luyuanhong教授算的那个极限，luyuanhong教授没有用p≤√N这个条件，才得到极限为1 的结果，用上p≤√N这个条件，极限应为1/2.