李明波谈三等分角问题

波浪

波浪

波浪

波浪

波浪

波浪

                         尺规不能问题
                             天山草
在三等分角和等分圆周（作正多边形）的尺规作图问题中，都涉及到角度问题，因此，了解哪些角度能尺规作图，哪些不能，是有必要了解的一个常识问题。当然，您可以认为这些常识是错误的，“误导”了后人几百年。
一、可以尺规作图的角度有哪些
（1）3°及其一系列半角和倍角：
…………(3/256)°、(3/128)°、(3/64)°、(3/32)°、(3/16)°、(3/8)°、(3/4)°、(3/2)°、3°、6°、9°、12°、15°、18°、21°、24°、27°、30°、33°、36°、39°、42°、45°、48°、51°、54°、57°、60°、63°、66°、69°、72°、75°、78°、81°、84°、87°、90°…………
  说明：上述角度之所以能够尺规作图，皆因3°这个角的三角函数能够表示成几个有理数平方根的加减乘除及开平方的组合，例如：
  sin3°={(√6+√2)·(√5-1)-2·(√3-1)·√(5+√5)}/16.……………………（*）
这样，借助于三角函数的倍角公式和半角公式，3°的一系列倍角和半角也就都能够表示成若干个正数平方根的加减乘除及开平方的组合。这真是“一人得道，鸡犬升天”，大家都跟着3°角沾光，并共同荣获“特殊角”之称号。
如果一个角的三分之一是上述“特殊角”之一，那这个角是可以“尺规三等分”的。
（2）(360/17)°及其一系列半角和倍角。因为17是费马数，高斯证明了边数是费马数的正多边是可以尺规作图的。高斯的这一发现是令人渍渍称奇的重大发现，高斯本人也为此而深受鼓舞，觉得自己是块做数学的好料，从此决定以数学为终身职业，并以正十七边形为其墓碑的底座。
（3）(360/257)°、(360/65537)°及其一系列半角和倍角。原因同（2）。
（4）(360/Fn)°及其一系列半角和倍角—— Fn是尚未发现的其它费马数。
（5）能够表示成上述角度的和或差（有限多次的和差运算）的角度，例如：
51°+ (3/8)°、87°- (22.5/17)°均可尺规作图。
注 ①：上述“能作图”的角度，包括 (360/17)°在内，它们的共同点，就是这些角度的三角函数值能够用“有限多个正有理数平方根的加减乘除及开平方组合”来表示，而这也正是它们能够“尺规作图”的依据。
注 ②：除以上这些角度外，还有哪些角度“能作图”，请网友们补充。
二、无法尺规作图的角度
  无法尺规作图的角度远多于能够作图的角度，例如：
（1） ……、(1/8)°、(1/4)°、(1/2)°、1°、2°、4°、8°、16°、32°、64°、……；
您如果有幸把1°的某个三角函数值写成了类似（*）式那样的“有限个有理数平方根的加减乘除及开平方组合”，那就“解放了一大片”，上面这些角度也会荣升为“特殊角”而与“3°角家族”平起平坐。不仅如此，由于21°角属“特殊角”，能够尺规作出，如果您解决了1°角的尺规作图，由21°-1°=20°，也就解决了20°角的尺规作图问题——那不是“三等分了60°角”吗？再由20°×2=40°，也解决了“九等分圆”的问题。
不过，先别太乐观，在动手之前最好先研究一下理论上有没有成功的可能性。
（2）……、(5/8)°、(5/4)°、(5/2)°、5°、10°、20°、40°、80°、……
……、(7/8)°、(7/4)°、(7/2)°、7°、14°、28°、56°、112°、……
…………………………………………………………………………………………
除3°以外的所有“质数角度”及其一系列倍角或半角，也是不能尺规作图的。这其中就有20°这个显眼的角，您要是有幸把这个角度用“尺规作图”画出来了，那就等于“三等分了60°”角；20°既然已经作出，40°角当然不在话下，因为40°×9=360°，您也就顺便完成了“九等分圆”或“正九边形”的尺规作图。只是这种研究恐怕凶多吉少，因为前辈数学家早已论证过“不可能”，您要以此为“研究方向”，最好先把前人的文章弄懂为妙。
（2） 以超越数形式表示的角度，如π°，那是无法尺规作图的，这也许没有反对意见吧。
上述这些“不能作图”的角有个共同特点，就是它们的三角函数值无法用有限多个正有理数平方根的加减乘除及开平方的组合来表示。您要想攻破“三等分角”或“九等分圆”这些“难题”，最好先把sin20°写成类似上面sin3°的那个表达式（*），如果您做到了这一点，具体作图的杂事其实不用您费心，任何人都会按您的公式做出图来。因此您只需发表那个公式即可，再说，这种公式要验证也很简单，拿个计算器按一按就行了。
三、尺规近似作图和非尺规准确作图
如果取消了“准确尺规作图”或者“非尺规作图”这些限制，那就立即“海阔天空”了，方法会有许多种，精度也会准确到“任意程度”或完全准确。不过，这些都失去了“尺规作图”的本来意义，其价值也就很小了。
四、“尺规作图不能”问题的三个证明途径
  以下内容摘自《几何作图不能问题》这本书。
（1）有一个定理说，有理系数三次方程X^3+a*X^2+b*X+C=0 如果没有有理根，那么它的所有实根都不能尺规作图。………………………………………………记为“*”定理
例如三等分60°角问题，它的三分之一是20°，令x=cos20°，根据三角恒等式：
cos60°=4*(cos20°)^3-3*cos20°可得：1/2=4*x^3-3*x，或8*x^3-6*x-1=0，可以证明这个方程没有有理数根（或者直接求出三个根为：cos20°，-cos40°，-cos80°，均不是有理数根），因此它的所有三个实数根都不能尺规作图。既然 不能尺规作图，那三等分60°角也就不可能尺规作图。
（2）有时，对问题的一般情形进行讨论比较困难，此时如果取其一个特例进行考察，则简单得多，例如三等分任意角，可以取60°这个特例进行研究；再如那个什么“古堡”问题，李明波也是取了一个特例进行分析：特例既经证实不能作图，一般情形不能作图便是不言而喻了（但是反过来说则不对——特例能作图不等于任意情形都能作图）。
（3）有的作图问题，经过分析后能够归结为已知的其它作图不能问题，则可断定该问题也属于尺规作图不能问题。例如，既然cos20°不能作图表明了60°角不能三等分，则可推知“九等分圆”作图也是不可能的。
五、掀起 sin20°的“盖头”来，让我们看看你的“眉”
为什么sin20°不能尺规作图呢？
sin20°确实不能表示成几个有理数平方根的加减乘除及开平方的组合吗？
sin20°是代数方程 64*X^6-96*X^4+36*X^2-3=0 的一个实数根，其表达式为：
sin20°=√{1/2-1/8*(1/2+i*√3/2)^(1/3)+i*√3/8*(1/2+i*√3/2)^(1/3)-1/4*(1/2+i*√3/2)^(2/3)}
其中虽然有复数，但“复数”表达式并不影响作图，只是上面这个式子不行，因为里面含有开立方，这就无法尺规作图了。
六、尺规作图有哪些限制要求？
  尺规作图有一定的“法则和规定”，脱离了这些法规，那就不算是尺规作图，是有可能三等分任意角的。当然，这是违规操作，就失去了它的理论价值。
  那么，尺规作图有哪些限制要求呢？
有一位网名叫做“Mell”的朋友两年前发过一个帖子，现摘录如下：
  在尺规作图中，只允许使用直尺和圆规进行以下作图操作：
（1）、过两点作一直线；
（2）、若两直线相交，可作出它们的交点；
（3）、以已知点为圆心，定长为半径，画一个圆或一段弧；
（4）、一条直线和一个圆若有交点，可作出该交点；
（5）、作图时，只能有限次使用直尺和圆规；
（6）、不能使用有刻度的直尺，不允许在直尺上做任何标记；
（7）、不能把直尺和圆规合并使用，也不能把几把直尺或圆规合并起来使用。比如，不允许将圆规的一脚靠在直尺上移动；不允许将直尺“绕一个定点转动”等。不允许把直尺做成特殊的形状，例如做成两边互相垂直的“直角尺”。
  如果不按上述要求，或者少限制一点，那么三等分任意角就是有可能实现的，比如阿基米德就曾给出过一个做法——他仅仅是在直尺上作了一个点标记而已。
七、作为本帖的附录，让我们顺便看看高斯当年是怎样作正十七边形的吧：
令X1=（-1-√17）/2，X2=（-1+√17）/2，作U=（X2+√（X2*X2+4））/2，
V=（X1+√（X1*X1+4））/2，作C=（U+√（U*U-4*V））/4, 则 C=cosθ，
式中的θ角就是正十七边形一条边所对的圆心角。
您看，并不需要真的画图，完全符合尺规作图法，方法又是如此漂亮！
                            文章来源:
  http://www.wyedu.sn.cn/blog/article.php?uid-16-itemid-827.html
           :em01:  :em02:  :em03:  :em04:  :em08:  :em09:

波浪

    草哥--草哥...

波浪

      草哥:我不,我不,我不啊...
       :em08:  :em09:  :em08:  :em09:  :em08:  :em09:

波浪

    王礼昌先生声称已经搞定了三等分角.
    http://www.channelwest.com/bbs/showtopic.asp?TOPIC_ID=28357&Forum_id=10
  

webmaster

***** 版主模式 *****

该贴子是管理员从<a href=forums.cgi?forum=5>基础数学</a>转移过来的！