再谈敢峰—米勒图型构形的归类问题

雷明85639720

再谈敢峰—米勒图型构形的归类问题
雷  明
（二○一七年九月二十日）

1、敢峰—米勒图型构形的归类问题：
图1的四个构形，实际上是三个，因为图1，c和图1，d只是左右不同而已。图1，a一类有一条通过1B—2A—3B—……—8A—……—1B四个顶点的环形的A—B链，而图1，b一类有一条通过5C—4D—……—6C—7D—……—5C四个顶点的环形的C—D链，图1，c和图1，d中都没有上述的两种环形链，A—B链和C—D链都是直链。

从图1中看，有了环形的A—B链，就不可能再有环形的C—D链；相反，有了环形的C—D链，同样也就不可能再有环形的A—B链。图1，a中的A—B环形链是通过1B、2A、3B和8A四个顶点的，且2A和8A是连通且相交叉的A—C链和A—D链的两个公共顶点，顶点8A又是两链的交叉顶点；而图1，b中的C—D环形链是通过5C、4D、6C和7D四个顶点的，且6C和7D是直接相邻的两个顶点。当以上的两种环形链都不存在时，就是图1，c和图1，d的情况了。
但是，既具有不全部通过1B、2A、3B和8A四个顶点的A—B环形链，又具有不完全通过5C、4D、6C和7D四个顶点的C—D环形链的多环形链结构的敢峰—米勒图（如图2，a），以及具有这种既具有不全部通过1B、2A、3B和8A四个顶点的A—B环形链，又具有不完全通过5C、4D、6C和7D四个顶点的C—D环形链的多环形链结构的其他的类似敢峰—米勒图的图（如图2，b和图2，c），道底应该归入上述三种构形的那一类或是自成一类，还得要很好的去研究才能确定。

图1，a中有通过1B、2A、3B和8A四个顶点的A—B环形链，图2，b中也有通过1B、2A、3B和8A四个顶点的A—B环形链，应该归为一类，即图1，a的一类；图1，b中有通过5C、4D、6C和7D四个顶点的C—D环形链，图2，c中也有通过5C、4D、6C和7D四个顶点的C—D环形链，也应该归为一类，即图1，b的一类；图1，c或图1，d中都既无全部通过1B、2A、3B和8A四个顶点的A—B环形链，也无全部通过5C、4D、6C和7D四个顶点的C—D环形链，而图2，a中也既无全部通过1B、2A、3B和8A四个顶点的A—B环形链，也无全部通过5C、4D、6C和7D四个顶点的C—D环形链，也应该归为一类，即图1，c或图1，d的一类。现在我们看看他们的着色方法是否相同，相同时归为一类就是合适的。
2、敢峰—米勒图型构形的着色问题：
图1，a交换A—B环形链内、外的任一条C—D链都可以使连通且相交叉的A—C链和A—D链断开，使图变成K—构形，而图2，b也可以同样这样解决，二者归入一类是合适的；图1，b交换C—D环形链内、外的任一条A—B链都可以使连通且相交叉的A—C链和A—D链断开，使图变成K—构形，而图2，c也可以同样这样解决，二者归入一类是合适的。
图1，c或图1，d只能进行转型交换，即交换B—C或B—D链，使图（构形）转型：一种方向的转型交换得到的是一个可以同时移去两同色D（或C）的K—构形；另一种方向的转型交换得到的是一个有环形的A—B链的类似于图1，b的H—构形，再用解决该种构形的办法去解决即可。而图2，a的敢峰—米勒图也可以同样的用转型交换来解决，只是无论用那个方向进行转型交换，得到的都是一个有环形的A—B链（如图中加粗的边）的类似于图1，b的DCD型或CDC型的H—构形，再用解决该种H—构形的办法去解决即可（如图3，a和图3，b）。图3，a中的环形链A—B中的3B、2A、A和B四个顶点，以及图3，b中的环形链A—B中的2A、1B、B和A四个顶点，分别相当于图1，b中C—D链中的5C、4D，6C和7D四个顶点。所以把敢峰—米勒图归入这一类也是比较合适的。

但是，敢峰—米勒图，同样也可以交换A—B环形链内、外的C—D链（如图4），或者交换C—D环形链内、外的A—B链（如图5），都可以使图变成可同时移去两个同色B的K—构形。图4，a和图4，b中，虽然都有连通且相交叉的A—C和A—D链（两链均已加粗），但两链并不相交叉，没有交叉顶点，所以一定是可以同时移去两个同色B的。

在图5，a中，虽然也有连通且相交叉的A—C和A—D链，并且有三个交叉顶点（图中的加大顶点），但它却是一个可以同时移去两个同色B的BAB型的K—构形；在图5，b中，虽有连通的B—C和B—D链，并且也有三个交叉顶点（图中的加大顶点），但它却也是可以同时移去两个同色A的ABA型的K—构形。

    3、敢峰—米勒图型构形道底应如何归类：
根据敢峰—米勒图型含有多个环形链的构形的结构看，若是含有通过1B、2A、3B和8A四个顶点的环形的A—B链的图，一定要归入图1，a一类，因为它只能交换C—D链，交换A—B链是无用的；若是含有通过5C、4D、6C和7D四个顶点的环形的C—D链的图，一定要归入图1，b一类，因为它只能交换A—B链，交换C—D链也是无用的；若是既含有不全部通过1B、2A、3B和8A四个顶点的A—B环形链，又含有不全部通过5C、4D、6C和7D四个顶点的C—D环形链的多环形链的图（如图2，a的敢峰—米勒图），用图1中三个构形的解决办法都可以解决，归入那一类都可以。所以笔者认为不再单独给敢峰—米勒图划类是可以的。但话又说回来了，如果从它的解决方法灵活多样性上划分，把敢峰—米勒图型构形单列为一类，也不是不可以。因为别的构形类都只有唯一的一种解决办法，而它却有三种不同的解决办法。道底敢峰—米勒图型构形应如何去归类的问题，还要请请四色爱好者网友们来进行共同的探讨。
4、关于张彧先生的Z—换色程序问题：
张先生只看到了在他连续对敢峰—米勒图施行颠倒过程中所得到的图中都含有A—B环形链，而没有看到这每颠倒一步所得到的图中的A—B环形链的实质，所以就统统的认为在环形的A—B链内、外交换C—D链，都可以使图变成K—构形而得解。

其实，在未颠倒前（如图6，a）和第二次颠倒后所得到的图（如图6，c）中，都是既含有不完全通过5—轮轮沿长半环的三个顶点以及两条连通且相交叉链的交叉顶点的A—B环形链，又含有不完全通过5—轮轮沿短半环的两个顶点以及与两条连通且相交叉链的共同起点所相邻的两个顶点的C—D环形链。是一个类似敢峰—米勒图型的BAB型和ABA型的H—构形。该构形不光只是可以交换环形的A—B链内、外的C—D链，可以使图变成有两条连通，但不相交叉，可同时移去两个同色的K—构形；而且也可以交换环形的C—D链内、外的A—B链，也可以使图变成有两条连通，但不相交叉，可以同时移去个同色的K—构形。
而在进行了第一次颠倒（如图6，b）和第三次颠倒（如图6，d）后所得到的图中，都是只有完全通过5—轮轮沿短半环的两个顶点以及与两条连通且相交叉链的共同起点所相邻的两个顶点的A—B环形链，而并无环形的C—D链。是一个类似赫渥特图型的DCD型和CDC型的H—构形。该构形却只能交换环形的A—B链内、外的C—D链，使图变成只有一条连通链的K—构形。
另外，通过连续的颠倒还可以看出，敢峰—米勒图与赫渥特图是可以通过转型交换相互转化的。转化成敢峰—米勒图型的构形时，就用解决敢峰—米勒图型构形的办法去解决；转化成赫渥特图型构形时，就用解决赫渥特图型构形的办法去解决。虽然都是在环形的A—B链内、外进行C—D链的交换，但交换的实质却是不相同的。只有了解了这一特点，才能对敢峰—米勒图型类的构形进行更好的4—着色。不能笼统的都认为是在进行Z—换色程序。所谓的Z—换色程序还是处在敢峰—米勒图的必然王国之内，还没有进入自由王国。因为处在Z—换色程序阶段时，等于还没有对敢峰—米勒图有更多、更清的认识。


雷  明
二○一七年九月二十日于长安

注：此文已于二○一七年九月二十一日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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