“构形最小”的说法是不妥的——与张彧典先生共同商讨

雷明85639720

“构形最小”的说法是不妥的
——与张彧典先生共同商讨
雷  明
（二○一七年八月二十九日）

张彧典先生在对H—构形进行分类时，有一个原则是“构形最小”，即顶点数是最少的。张先生认为的“构形最小”就是构形是“九点形”时才是最小的，但他同时又认为敢峰—米勒图的顶点数是17 时也是最小的。我一直认为“构形最小”的这种说法不妥，现分析如下：

图1，a是H—构形的最基本模式，其中有两条连通链A—C和A—D，两链既有共同的起始顶点2A，又有相交叉的顶点8A。构形中可以有环形的A—B链，也可以有环形的C—D链，但二者不可能同时出现，而只能有一条存在。因为这两种链是相反链，是不可能相互穿过的（如图1，b）。只有一条环形链时的构形就是我所分类的a类H—构形和b类H—构形。但构形中A—B和C—D两条链均不是环形时却可以同时存在（图1，c）。没有环形链时的构形就是我所分类的c（或d）H—构形。这里请注意，我把图1中各构形中除了5—轮的边和顶点6C—7D间的边以外的边，都认为是有两条以上的边的链。同时也只有当这些边是链时，才是不可同时移去两个同色B的H—构形。
H—构形，或者说任何构形，其围栏顶点以外的顶点都是有无穷多个的，且每一条链的顶点数也可以是无穷多的，可以是一个顶点，也可以是无穷多个。所以说构形的总顶点数，以及各链的长度（顶点数）都可以是无穷的，也可以只有一个，并不是一个定数。只要构形中各链间的关系相同，不管对应链的顶点数是多是少，也不管构形的总顶点数是多是少，其解法都是相同的。
因此，“构形最小”的说法是错误的。况且在各链间的关系相同的构形中，顶点数减少到一定的程度时，构形本身就发生了变化，变成了别的构形了，解法也就不同了。所以就更不应提出“构形最小”的概念了。
    图1，b中的实线图构形，有一条环形的A—B链，而C—D链被分隔成了互不连通的两部分，交换任一部分C—D 链，构形都可变成K—构形；图1，b中的虚线图构形，有一条环形的C—D链，而A—B链被分隔成了互不连通的两部分，交换任一部分A—B 链，构形都可变成K—构形；图1，c中的虚、实两线的两种情况（实际上是同一种情况）的构形，没有环形链，只能从顶点1B起交换B—D链（或从顶点3B起交换B—C链），都可以使构形变成两个同色是D（或C）的、可同时移去两个同色B的K—构形，或者是与图1，b中的虚线图构形相同的构形，再按图1，b中的虚线图构形的解决办法解决就行了。
但如果，构形中的顶点减少到了图1，b和图1，c中的“九点形”构形（这时图中的边就只是一条边的链）时，这时，除了图1，b的虚线图构形外，其他的三种构形都成了可以同时移去两个同色B的K—构形而不再是H—构形了。这就是我认为的“最小构形”提法不妥的原因。当构形是“九点形”构形时，图1，b的实线图构形不可能再交换任一条C—D链，使问题得到解决，而必须同时移去两个同色B；图1，c中的构形交换了B—D（或B—C）后，就可直接移去两个同色给待着色顶点V着上，而不会再变成图1，b中的虚线图构形了。
从字面上讲，“构形最小”也表达不清其含意。本来构形就是一个任意的。顶点数是任意的，各链间的关系也是任意的。“构形最小”在这里起了什么作用呢。“最小”是什么概念呢，多少顶点才算是“最小”呢，概念是很不清楚的。


雷  明
二○一七年八月二十九日于长安

注：此文已于二○一七年八月二十九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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