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本帖最后由 ysr 于 2017-7-9 04:11 编辑
整理了1下，请朋友们批评指导：
哥德巴赫猜想的初等证明(王彦会)
大于等于4的偶数都可以表示为两个素数的和，这就是著名的哥德巴赫猜想的内容，其实就是一个关于偶数的拆分问题，是跟素数分布有关的问题。
素数有无穷多，且分布越来越稀。
定理1：若A除以2n+1余R，则A-a（2n+1）除以2n+1余R，
若A除以2余0，则A-2*a除以2余0，
若若A除以2n+1余0，则A-a（2n+1）除以2n+1余0，（其中A，a，n均为整数）
对偶数2A：
将偶数2A内的数字，对半分上下两排，上面是大数，则有：
A A+1 A+2 A+3，……
A A-1 A-2 A-3，……
这已是偶数2A的全部拆分，唯一对应规则是上下排两数之和等于2A。
据定理1，偶数与偶数必然相对，且相对的数字和为2A，若偶数不与偶数相对，和就不能被2整除，不等于2A。
据定理1，A若含有某素因子R，则上下排对应数同时含有R因子，就是含R因子的必然相对，否则是2A不会被R整除。
若2A除以某素数P余数为r，则下一排含有素因子P的数的对应项除以P余数必为r，否则两数之和除以P余数不为r，与2A除以P余r矛盾。
定理2，上一排合数全在下一排某些素数的一次同余系上，若余数为0，则2A除以该素数余数为0，若上一排某合数除以下排某素数P余数为r，则下排凡P的倍数对应的上一排数除以P的余数皆为r。
下一排素数及其倍数完全可以抵消上排合数。
设下一排（小数）的质数和合数分别为a和b，上一排（大数）分别为c和d，由于素数分布越来越稀，则有a>c,据定理1，由于上下两排数字移动方向和个数相同，上排整数与下排的素数及其倍数对应的,必是下排该素数的1次同余系,（所以下面1个素数和含有1个因子为该素数的1个合数，可以抵消上排的2个合数，这2个合数为该素数的1次同余系。所以，上一排比下1排抵消的总是多出素数的1倍的合数。）
下面证明至少一对素数对是成立的。
证：设下一排（小数）的质数和合数分别为a和b，上一排（大数）分别为c和d，则有a+b=c+d，b和d设为下上两排的合数，由于一般的下一排的素数稠密度高于上一排，则有a>c，则a-c=d-b>0，上下两排是成对抵消的，如果只统计上一排合数而不管其对应的下一排数是素数还是合数，那么，
若下一排的素数抵消一部分，剩下a1个，合数剩下b1个，上一排的合数剩下d1个，上下两排总个数仍相等，则有a1+b1=c+d1，只要c>b1>d1,则哥猜成立，
此不等式恒成立的证明如下：由于上下两排是同时即成对抵消的，若a1>0，即下排（小数）始终留a1个素数，(a1很小，如a1=1，可以不确定这些素数是几)，下1排（小数）若抵消了a个素数的1倍的合数，而上1排（大数）则要消耗2倍的a个合数（只统计合数，必须是下排的素数和其倍数与上排的合数对应的情况），始终多a个，
下1排（小数）的合数若为b1=b-a+a1，b1=b-2a+a1，b1=b-3a+a1，b1=……，（上排）则有d1=d-2a+a1，d1=d-3a+a1，d1=d-4a+a1，d1=……，则只要不等式c>b-a+a1>d-2a+a1,或c>b-2a+a1>d-3a+a1,或……恒成立，则哥猜成立，设Pi为下一排最大素数，则2Pi<2A，由于算术平均值大于等于几何平均值，故根号2A<=Pi，而Pi^2>2A，就是说Pi内的素数及其倍数必然能抵消上排的全体合数。
假设，当d减去2a，3a，4a，或……刚好 等于0时，即d1刚好等于0时（此时可能有质对子被减掉，但由于上下成对抵消，下排始终有a1个素数，不会影响结果），只要b1必不为0且大于0，且不等式c>b1>d1恒成立，则哥猜成立，
由于b1+a1=c+d1，只要b1>d1，则c>b1成立，因当d1刚好为0时，由于我们只统计上排的合数，故c不变，c=b1+a1，则c>b1，上下排素数与合数比例翻转，c为素数且大于b1，下排还有a1个素数，则可构成1对素数对成立。
(b1>=d1，等号有时会成立的，即当b1=0时，这时上排的素数全部与下排的素数构成素数对，这种情况产生的素数对最多不必讨论了，如210，上一排有19个素数，分别为:107，109 ，113 ，127， 131，137，139， 149 ，151，157 ，163，167 ，173，179， 181 ，191，193，197，199，全部构成素数对。至于c≠0，即上排素数不会为0，就无须证明了，大家都明白的，可能有多种证法不再讨论了。)
不等式b1>d1恒成立的证明：
设a-c=e>0,则c=a-e,b=d-e,设d1=d-(xa-a1)=d-xa+a1=0其中x可为小数,
(x为下排素数平均使用次数，不一样，一般从小到大依次降低)，则b1=b-((x-1)a-a1)=b-(x-1)a+a1=d-e-(x-1)a+a1=d-e-xa+a+a1,由于c=a-e>0恒成立,故a>e,所以,b1=d-xa+a1-e+a=d1-e+a>d1恒成立,
故对于无穷大的正偶数2A均可以表示为1对素数的和，哥猜成立.（还有其他证法篇幅长无法投稿）
(这是原文的缩略版，上文其实只是假定下一排剩下至少1个素数的情况，对下一排至少会剩下一个素数的定性的证明:设下排最大的一个素数为Pi，接近A(当A=Pi，Pi+Pi=2A，此类成立无须证明)，当从小到大试到Pi时，上排奇合数早已被抵消完了，故下排至少剩下Pi一个素数，不必担心下排素数会用光。)
(至于上下排素数对的和是否是2A是不必担心的，因为唯一的对应规则就是和为2A，抵消的时候也是严格按照这一规则成对抵消的，故剩下的数对当然都是和为2A)
(c≠0的证明:设A>=50，因为100以内哥猜成立无须再证，而50~100间有10个素数，有3个平方数，(49)，64，81，100，构成3个杰波夫区间，随着A的增大区间个数增大，每个杰波夫区间至少含有1个素数，更强的定理有:100以上每个区间内至少2个素数，实际多的多，故c不会为0，证毕。)
所以，哥猜成立的1个必要条件就是，随着自然数的增大，素数分布越来越稀疏，使上排的素数少于下排。(当然前提是素数有无穷多)
这种把某偶数以内的整数分上下两排，和正好为某偶数的证法，我最早见于河北姚兴志老师发在《数学中国》论坛的文章，这里发展了他们的理论！
如果我的能发表，请写下：感谢姚兴志老师，青岛那宝吉老师,湖南藤瑞雄老师！也感谢数学中国的其他老师的关怀帮助和指导！ |
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发表于 2017-7-7 04:57
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