[讨论]与珠穆亚纳共同榷商

雷明85639720

雷明85639720

与珠穆亚纳共同榷商
雷  明
（二○○年六月二十五日）
看了珠穆亚纳2004年6月24日所发的帖子《你真的证明了“四色猜想”吗？那就……》以及珠穆亚纳与网名“牛哥”和胡俊华、网名“大手笔”四人之间的辨论。珠穆亚纳认为自已已经证明了四色猜测，并提出了三个“定理”及三个公式，认为只有证明了四色猜测是正确的，才能证明这些“定理”及这三个公式。牛哥等则不这样认为。辨论非常激烈。我也是一个业余的四色问题爱好者，我想对他们所争论的问题发表一点我个人的看法，以求共同商讨。
1、牛哥问珠穆亚纳公式中的求和符号∑后面的珠穆亚纳没有交代的ai是什么意思后，珠穆亚纳8月16日发帖的回答本身就是错误的：他说“和式的一种表达方式，也可以这样表达：（（N-4）+（N-5）+……+1），Ai中的i=1，2，……（n-4），A可以省略。”这是错误的。i在这里是a（A）的下角，是自然数，而a（A）在这里明明是直线与直线相交时所产生的“交点”的序数，怎么能说“可以省略”呢，只不过在这个地方它的值与其下角的值相同罢了。
2、牛哥提出珠穆亚纳的公式都是在图论教果书里已经有了的公式时，它们与四色猜测的证明没有任何关系。珠穆亚纳硬说图论书中没有这些公式，是他在证明了四色猜测后得到的。他在9月16日的一个帖子里说到：“我现在手头上就有一本图论，不知哪一章哪一节给出了这些个公式？有这样的结论？我的表达方式就很简明，而且，很清晰，你如果认为‘不是证明四色猜想以后才可以证明那3个结论’，那么就拿出你的证明来，这样做是最有说服力的。”的却这几个公式在图论教课书中都是有的，这就是平面图的边和顶点之间，平面图的边和顶点之间的关系式，这一点是绝不含乎的。这并不是珠穆亚纳的新发现，因为直到现在四猜测还没有被公认通过证明是正确的还是误的。即就是某本图论书中没有这几个公式，不等于整个图论课中就没有这些内容。后面我将要在与四色问题毫无关系的情况下推导出这几个公式。我也与牛哥同样，不知道珠穆亚纳为什么要把一个很简单的公式表示得那么复杂呢。本来就是一个e＝3n－6的公式，他偏要用一个组合公式与一个求合公式的差来表示（珠穆亚纳是这样表示的e＝C2n－ ，n表示交点数，但他并没有把后面的求和公式解释清楚）。的却，珠穆亚纳的这个公式就可以化简为e＝3n－6，后来珠穆亚纳9月16日在他的另一个帖子中把这个定理中的公式也简化成了e＝3n－6。
3、当胡俊华谈到多面的顶点V，边E，和面F三者之间的关系的体欧拉公式时，珠穆亚纳说欧拉公式是进行了循环论证的，并对欧拉公式也产生了怀凝。珠穆亚纳说“欧拉公式、库拉图斯基定理等等，都有循环论证的现象，这些推理本身，始终建立在‘四色定理’已经成立的前提下”。当胡俊华叫珠穆来亚纳列举循环论证的举例时，珠穆亚纳却又没有举不出来。我可以说欧拉公式是千真万确成立的，它不仅只是一个经验公式，而且是可以推导出来的。这在后面我也将会在与四色猜测丝毫没有任何关系的情况下推倒出欧拉公式，使其不再只是一个经验公式了。四色猜测是在1852年才提出的，而欧拉公式却是早在1750年就被欧拉证明了是正有的。请问珠穆亚纳先生，欧拉公式是怎样“始终建立在‘四色定理’已经成立的前提”之“下”的，欧拉在世时，可能他还不知道什么叫“四色猜测”呢，更不知道什么是“四色定理”。因为直到现在“四色猜测”也没有被证明是正确还是错误，欧拉怎么能早在“四色猜测”提出前一百年以前就使用了“四色定理”来证明自已的多面体欧拉公式呢，是不是欧拉用了你今天对四色猜测的证明呢。
4、当珠穆亚纳不知根据什么提出了一个多维空间的五色定理后，大手笔进行反驳，认为多维空间任何两个顶点都是可以相邻的，n个顶点可以形成Kn图，着色时就得用n种颜色时，珠穆亚纳只是大喊：“我的三维空间五色定理目前绝对没有学界的任何高手可以证明，莫说证明，就是理论模型也无从建立（见珠穆亚纳2006年7月23日的帖子）”，却再也拿不出任何论据。珠穆亚那先生，即就是你的理论是正确的，也不能这样的目空一切吧。图本身就是拓扑的，其边象橡皮筋一样可以拉长或缩短。平面图只是画在平面上，在顶点以外没有边与边相交叉的图。那么所谓的多维图画在平面上时，只要不把非顶点处有边与边相交叉的地方当作顶点看待就可以了，不存在多维不多维的问题。多面体本来就是三维的，但它的却对应着一个平面图。所以本人认为珠穆亚纳这里的所谓多维空间五色定理是没有根据的。若说它说的是非平面图的色数大于等于5吧，有些非平面图的色数的却是小于5的，如K3，3图的色数就是2；若说它说的是非平面图的色数小于等于5吧，那么含有n大于等于6的Kn团的非平面图的色数却是大于等于6的。所以说提出这个五色定理是没有任何理由的。尽管Heawood的五色定理是在他不能对他的图4—着色的情下提出的，虽不合理，但的却任何平面图的色数都是小于等于5的。其实Heawood的图是可以4—着色的。请参见笔者的《Heawood—图的4—着色》一文。
5、极大图中顶点、边和面三大元素之间的关系：所谓极大图，是指平面图而言的。极大图是所有面都是3—圈的平面图，是一种特珠的平面图。
（1）极大图的边数e与面数f的关系：因为极大图的每个面都有3条边，而每条边均与两个面相邻，所以极大图的边数e＝3f / 2，即极大图的边数与面数有
2e＝3f                                        （1）
式（1）就是极大图的边志面之间的关系。
（2）极大图的边数e、面数f与顶点数v的关系：极大图（v≥3）的边数e与顶点数v以及面数f与顶点数v的关系的导出如下表：
  序号n   顶点数v   边数e   en+1－en   面数f   fn+1－fn   
   1        3         3        /         2       /
   2        4         6        3         4       2  
   3        5         9        3         6       2
………………………………………………………………         
n＝v－2     v       3v－6      3       2v－4     2
从上表中可以看出：极大图的顶点数每增加1，图仍要保持还是一个极大图时，图的边数就增加3，面数也就增加2。可见表中“边数e”列和“面数f”列分别是两个等差数列，公差分别是de＝3和df＝2，把n＝v－2，de＝3，df＝2，e1＝3和f1＝2分别代入等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）•d得极大图的边数和面数的通项公式分别是：
极大图的边数：e＝3＋（v－2－1）×3＝3v－6   （2）                        
极大图的面数：f＝2＋（v－2－1）×2＝2v－4   （3）               
式（2）和式（3）就是在v≥3时的连通单纯图中，极大图的边数e和面数f分别与顶点数v的关系。只要是极大图，它的三大要素v、e、f之间一定有（2）式和（3）式的关系。
6、任意平面图的边数e、面数f与顶点v数的关系：
由于极大图中所有的面都是三边形，若再在两个不相邻的顶点间连边时，图中将会产生在顶点以外有边相交叉的情况，使图变成非平面图。所以在相同顶点数（v≥3）的平面图中，以极大图的边数和面数为最多。所以就有任意平面图的边数e及面数f与顶点数v的关系分别如下：
        平面图的边数：e≤3v－6                       （4）
        平面图的面数：f≤2v－4                       （5）
式（4）和（5）就是任意平面图（v≥1）的顶点与边和面的关系。只要是连通的单纯平面图，不管是极大图还是非极大图，它的三大要素v、e、f之间一定有（4）式和（5）式的关系。
7、多面体欧拉公式：
用式（2）减式（3）得e－f＝v－2，再移项整理得到
v＋f＝e＋2                                   （6）
式（5）就是极大连通平面图（v≥3）的欧拉公式。若给图中减少或增加一条边，只要不产生交叉边，同样也就减少或增加了一个面，（6）式两边同增同减，公式仍成立。所以（6）式也就是意任连通平面图（v≥1）的欧拉公式。由于任何一个简单多面体都对应着一个连通平面图，用多面体的顶点V，边E，面F，分别代替式（6）中的v，e，f得到
V＋F＝E＋2                                 （7）
式（7）就是简单多面体的欧拉公式。它反映的是多面体的顶点，边（棱）和面三者之间的关系。现在该公式已是经过了严密的推导出来的，再不是以前认为的只是一个经验公式了。这里在得到多面体欧拉公式之前，关没有接触到任何一个多面体。同样的，从图论出发，还可以得到适合于任意多面体的欧拉公式。请参见笔者的《多面体欧拉公式的拓宽》一文。
以前的所谓对多面体欧拉公式的证明，实际上都是在对欧拉公式进行验证，并没有真正的把欧拉公式用严密的数学方法推导出来。多面体欧拉公式只是欧拉在研究有限的正多面体的顶点、面和边（棱）的关系时，通过对个别的有限的几个多面体的实际观察而得来的，也是没有经过严密的推导而来的，所以说是一个经验公式。以前的所谓证明都只是对欧拉公式的验证，首先他们都是肯定了欧拉公式是正确的，然后再去在某一个多面体的的基础上，削去其中的一个顶点而使多面体增加一个面，或者在多面体某个面以外增加一个顶点而使多面体增加与该面同边数的面，看所得到的新的多面体的顶点、面和边（棱）的关系是否符合欧拉公式。由于所有的验证都是仍符合欧拉公式的，所以就说欧拉公式被证明是正确的，包括欧拉本人的“证明”可能也是这样的。所以说珠穆亚纳所说的对欧拉公式的证明有“循环论证的现象”还是不无道理的，但是当胡俊华要其列举“循环论证”的证据时，他去没有指出这一点。欧拉的年代还没有图论出现，欧拉采用这种办法对他的公式进行“证明”还情有可原，可为什么在图论已趋于完善的今天，还有人继续采用这一办法对欧拉公式进行证明，这就不可思意了。
8、欧拉公式与平面图中顶点、边和面三者关系公式的相互转化：
欧拉公式反映的是多面体或者平面图中的顶点、边（棱）和面三者之间的关系，不面图中顶点、边和面三者之间的关系的公式反映的也是顶点、边和面三者之间的关系，面且它们都是经过严密的推导证明是正确无误的，那么它们之间相互可以推导是就完全可以理解的，而没有谁先谁后的问题。
在式（1）2e＝3f中有，
f＝2e / 3                                     （8）
和
e＝3f / 2                                     （9）
二式。把（8）式代入欧拉公式（6）式就可得到
e＝3v－6                                   （10）
式（10）就是以上（2）式的极大图（v≥3）的边数与顶点数的关系式，也就是珠穆亚纳的定理3的公式（3）；把（9）式代入欧拉公式（6）式就可得到
f＝2v－4                                    （11）
式（11）就是以上（3）式的极大图（v≥3）的面数与顶点数的关系式。正巧珠穆亚纳的定理和公式就少了这一个。由于极大图的边数和面数都是平在图中最多的，所以又有
E≤3v－6                                    （12）
和
F≤2v－4                                    （13）
在式（12）和式（13）中，v≥1，这就是前面的式（4）和式（5），也就是珠穆亚纳的定理1和2的公式（1）和（2）。
若用式（10）－（11）或（12）－（13）都能得到
v＋f＝e＋2                                  （14）
式（14）就是前面的公式（6），即任意平面图（v≥1）的欧拉公式。再用多面体的顶点V，棱（边）E，面F，分别代替式（14）中平面图的顶点v，边e和面f，就得到了
V＋F＝E＋2                                 （15）
式（15）就是前面的简单多面体（V≥4）的欧拉公式（7）。
                            雷  明
                 二○○八年六月二十五日于金堆城

wangyangke

雷明、王若仲、鲁思顺，程中战在哥德巴赫猜想方面的层次——

雷明垫底；雷明，一个叙述不清楚哥猜的人，说他的哥猜证明没有错误还不行，非得要说他证明了哥猜；
王若仲，讲义讲义，终究是屁；沉溺筛除、四则证哥猜；
鲁思顺坐——座中；有三愚蠢四无知之美实；
程中战居上，言语随意，有啥说啥；虽不足和不全面或者坠为错误，倒也不失奇妙。