(a^2+3)/p=c两整数解之和等于p

yangchuanju

当限定a是正整数时，代数式a^2+3的分解式中可能含平方因子4（a是奇数），含一个素因子3（a是3的倍数），其余素因子都是模6余1的。
在a=1-7中，有2个含素因子7的（a=2和5）；以后a每增加7，之中都有2个含素因子7的（a=2+7k和a=5+7k）；
在a=1-49中，有2个含素因子7^2=49的（a=12和37）；以后a每增加49，之中都有2个含素因子7^2的（a=12+49k和a=37+49k）；
在a=1-343中，有2个含素因子7^3=343的（a=37和306）；以后a每增加343，之中都有2个含素因子7^3的（a=37+343k和a=306+343k）；
在a=1-2401中，有2个含素因子7^4=2401的（a=306和2095）；以后a每增加2401，之中都有2个含素因子7^4的（a=306+2401k和a=2095+2401k）；
在a=1-16807中，有2个含素因子7^5=16807的（a=2707和14100）；以后a每增加16807，之中都有2个含素因子7^5的（a=2707+16807k和a=14100+16807k）；
在a=1-117649中，有2个含素因子7^6=117649的（a=47714和69935）；以后a每增加117649，之中都有2个含素因子7^6的（a=47714+117649k和a=69935+117649k）；
在a=1-823543中，有2个含素因子7^7=823543的（a=165363和685180）；以后a每增加823543，之中都有2个含素因子7^6的（a=165363+823543k和a=685180+823543k）；
……在a=1-7^t中，一定有2个含素因子7^t的；以后a每增加7^t，之中都有2个含素因子7^t的。

将7换成素数13,19,31,37,43,61,67,73,79,97,103,109,127……都有类似的结果；
将7换成梅森素数31,127,8191,2^17-1,2^19-1,2^31-1,2^61-1,2^107-1……都有类似的结果。

yangchuanju

判断一个正整数m是不是素数，最基本的方法是用整数m平方根内的全部整数试除一遍，若有可以除尽的则m就不是素数，最多试除m^0.5次；
一级简化是——用整数m平方根内的全部素数试除一遍，若有可以除尽的则m就不是素数，最多试除m^0.5内素数个数次；
二级简化是——只用模8余1和余7的素数筛除，筛除次数再减一半。

用太阳的整除判断法（只要2个整数解）判断一个整数m是不是素数，要在m内做（最多）m次筛除（a=1--m），如果只有2次整除发生，则m就是素数；
当然筛除次数可以适当减少一些——如果在m/2范围内只有1次整除发生，也可判断吗是素数；
二级简化是——筛除从a大于等于m的平方根开始，直至m/2为止。
需要特别注意的是，如果m非常大，要找到一个整数解非常困难，甚至不可能，——找不到不等于没有；
这里不像通常的试除法——找到一个即可结束——一票否决了；
而必须是找全（至少3个，m/2以内至少2个），若整数解个数多于2个才可确定m不是素数。
筛除次数m/2与m平方根内的素数个数哪个小？

通常的筛除法，一旦整除发生，m的一个素因子p即找到了，下一步再找可从p开始找到m/p的平方根即可；
太阳的整除判断法则不行，如果整除次数（整数解数）大于2，m便是合数，但它的素因子是谁无法知道，因为素因子与a没有明确关系。

yangchuanju

现在已知的梅森素数的指数已经达到8000多万（51#指数是82589933，4811740号素数），梅森素数位数达到2500万位（51#位数是24862048位）；
在481万多的素数中只有51个梅森素数，分率10万分之1.06，它们都是模6余1（第一个梅森素数3除外）；
其余的481万多个梅森合数之中有一些素因子全是模6余1的，像2^37-1,2^67-1,2^101-1,2^103-1等，但为数不会太大，特别是达到亿级时恐怕为数更少，即有整数解的更少；
太阳先生试图通过求整数解的个数确定一个指数达到亿级，位数超过3000万位的梅森数的整数解个数是不是2，能够如愿吗？
假定某个梅森数2^p-1是一个二合数，在(2^p-1)范围内应该有4个整数解，但你只找到2个（没有找全），你能断定它就是素数吗？
假定某个梅森数2^p-1是一个素数，在(2^p-1)范围内应该有2个整数解，但你一个整数解也没有找到（请注意：没有找到不等于不存在！），你能断定它就不是事实嘛？

yangchuanju

一次找出全部亿位梅森数和梅森素数
1亿位最小整数是10^999999999，1后面10^99999999个0；最大整数是10^100000000-1，10^99999999个9。
10的自然对数是2.30258509299405，常用对数是0.301029995663981；分别取倒数是0.434294481903252和3.32192809488736；
当k取332192809.4887时2^k-1是较小的1亿位数100……几，当k取3321928091.5654时2^k-1是较大的1亿位数999……几（10亿位）；
小指数3.32亿内有17896981个素数，大指数33.2亿内有159166556个素数；在大小两个指数中间有141269575个素数，即共有141269575个亿位梅森数；
（30亿个整数中有1.4亿个素数）
1.4亿个亿位梅森数中可能有几个或一二十个梅森素数。

要一次找到这些梅森数中的梅森素数，用太阳的整数解法，可
（一）逐个计算出1.4亿个梅森数的整数值，不能近似或用指数式表达；
（二）取a等于10^(99999999/2)到10^99999999-10^(99999999/2)中的所有整数，分别计算出这些整数的平方再加3；并将这些平方数加3逐个分解到底；
（三）依次统计分解式中a不大于梅森数中的素因子是梅森数的个数；
（四）素因子个数只有2个的是梅森素数；没有等于梅森数的素因子或素因子个数多于2个的梅森数都不是素数。

这样多个亿位大素数不就找到了吗？

太阳

yangchuanju 发表于 2024-4-19 09:27
现在已知的梅森素数的指数已经达到8000多万（51#指数是82589933，4811740号素数），梅森素数位数达到2500万 ...

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)
\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)
\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(2^k-1＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(2^k-1\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)

太阳

yangchuanju 发表于 2024-4-19 09:27
现在已知的梅森素数的指数已经达到8000多万（51#指数是82589933，4811740号素数），梅森素数位数达到2500万 ...

只需要找到最大整数解，求出最小整数解，可以判断它是不是梅森素数

太阳

yangchuanju 发表于 2024-4-19 19:26
一次找出全部亿位梅森数和梅森素数
1亿位最小整数是10^999999999，1后面10^99999999个0；最大整数是10^100 ...

方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，范围的有数解，最大整数解可能是偶数，也有可能是奇数
如何找到最大整数解？

太阳

已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)
\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)，方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)
\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(2^k-1＝p\)
已知:整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(\frac{a^2+3}{c}＝2^k-1\)，\(2^k-1＞a\)，素数\(2^k-1\)
方程\(\frac{a^2+3}{c}-2^k+1＝0\)，\(2^k-1\)范围内有整数解，最小整数解记作\(m\)，最大整数解记作\(t\)
求证:\(t-m+\frac{m^2+3}{2^k-1}＝\frac{t^2+3}{2^k-1}\)
命题是错误的

yangchuanju

3.32亿中最小的和33.亿中最大的几个素数
332192831 332192857 332192863 332192873 332192879 332192891 332192897 332192909
3321927991 3321927997 3321928013 3321928021 3321928037 3321928067 3321928073 3321928079
指数p        位数
332192831        100000007
332192857        100000015
332192863        100000017
332192873        100000020
332192879        100000021
332192891        100000025
332192897        100000027
332192909        100000030
3321927991        999999969
3321927997        999999971
3321928013        999999976
3321928021        999999978
3321928037        999999983
3321928067        999999992
3321928073        999999994
3321928079        999999996

yangchuanju

任何判定最小的亿级梅森数2^332192831-1是不是素数？
用太阳的整数解法，可
（一）首先计算出这个梅森数的整数值，1亿零7位，不能近似或用指数式表达；
（二）取a等于2^(332192831/2)到（2^332192831-1）/2中的所有整数，分别计算出这些整数的平方再加3；（仅计算了一半a值）
（三）依次用这些平方数加3除以给定的梅森数；亦可从大数开始做除法，逐个减1向小数进行；
（四）若整除只有1次，则它就是梅森素数；若始终不能整除或整除次数多于1次时（相除即可终止），它就不是素数。（因值计算了一半a，故整数解个数减半）

不可能得出计算结果分析：
（一）这个1亿零7位的大整数如何得到？连乘3.32亿次吗？（肯定是最后再减1了）
（二）那么多那么大的平方如何挨个相除？大数相除如何进行？
最终结论是不可能——不可能——至少找你我的有生之年不可能——在当今时代恐怕也是不可能。