表兄弟素数的中项和合成分布情况

白新岭

2024年4月5日22:40周五农历二月廿七
我们以前，都是分析的比较长谈的最密k生素数的中项和合成分布问题，今天咱们
研究一下孪生素数对的近亲，表兄弟素数（0,4）的中项和合成分布问题，仍就以
合成方法数与剩余类个数的关系恒等式说起:
\((P-2)^2=P^2-4P+4=1*(P-2)+2*(P-3)+(P-3)*(P-4)\)
这个恒等式表明了这么一层关系，对于满足条件的素数P来说，有1个剩余类拥有
(P-2)种合成方法；有2个剩余类各拥有(P-3)种合成方法；其余的剩余类各自拥有
(P-4)种合成方法。也是拥有平均数方法（除常数项以外的平均值合成方法数）。
所谓，平均值合成方法数是指除常数项以外，方法数/P所得的值。

表兄弟素数        0        4
中项置零        -2        2
求其逆元        2        -2

内部合成        2        -2
2        4        0
-2        0        -4

这里对字母一个说明：xdjl---相对距离，syl---剩余类，Tj---统计，都是采用词组的首个字母代替简化而得。

xdjl        Tj2
4        1
0        2
-4        1
合计        4

素数        2        3        5        7        11        13
2        0        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11
未占剩余类        1        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        1        1        1        1
未占剩余类        申        占        4        3        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        4        4        4
未占剩余类        戌        占        戌        6        5        5
未占剩余类        亥        占        亥        占        6        6
未占剩余类        子        占        子        占        7        7
未占剩余类        丑        占        丑        占        8        8
未占剩余类        寅        占        寅        占        10        9
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        10
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        12

外部合成                                               
素数2        1                                       
1        0                                       
只能合成整除2的正整数                                               

素数3        0                                       
0        0                                       
只能合成整除3的正整数                                               

素数5        0        1        4
0        0        1        4
1        1        2        0
4        4        0        3
能合成5的完全剩余系                       

5syl        Tj2
0        3
1        2
2        1
3        1
4        2
合计        9

素数7        0        1        3        4        6
0        0        1        3        4        6
1        1        2        4        5        0
3        3        4        6        0        2
4        4        5        0        1        3
6        6        0        2        3        5
能合成7的完全剩余系                                       

7syl        Tj2
0        5
1        3
2        3
3        4
4        4
5        3
6        3
合计        25

素数11        0        1        3        4        5        6        7        8        10
0        0        1        3        4        5        6        7        8        10
1        1        2        4        5        6        7        8        9        0
3        3        4        6        7        8        9        10        0        2
4        4        5        7        8        9        10        0        1        3
5        5        6        8        9        10        0        1        2        4
6        6        7        9        10        0        1        2        3        5
7        7        8        10        0        1        2        3        4        6
8        8        9        0        1        2        3        4        5        7
10        10        0        2        3        4        5        6        7        9
能合成11的完全剩余系                                                                       

11syl        Tj2
0        9
1        7
2        7
3        7
4        8
5        7
6        7
7        8
8        7
9        7
10        7
合计        81

素数13        0        1        3        4        5        6        7        8        9        10        12
0        0        1        3        4        5        6        7        8        9        10        12
1        1        2        4        5        6        7        8        9        10        11        0
3        3        4        6        7        8        9        10        11        12        0        2
4        4        5        7        8        9        10        11        12        0        1        3
5        5        6        8        9        10        11        12        0        1        2        4
6        6        7        9        10        11        12        0        1        2        3        5
7        7        8        10        11        12        0        1        2        3        4        6
8        8        9        11        12        0        1        2        3        4        5        7
9        9        10        12        0        1        2        3        4        5        6        8
10        10        11        0        1        2        3        4        5        6        7        9
12        12        0        2        3        4        5        6        7        8        9        11
能合成13的完全剩余系                                                                                       

13syl        Tj2
0        11
1        9
2        9
3        9
4        10
5        9
6        9
7        9
8        9
9        10
10        9
11        9
12        9
合计        121

白新岭

根据外部合成，现在求其公共系数：
对于素数2来说，\(2*{1\over1}\);对于素数3来说，\(3*{1\over1}\);
对于素数5来说，\(5*{(5-4)\over(5-2)^2}\);实际上当素数P≥5时，其通用表达式，
即素数P对它（公共系数的）作用结果为：\(P*{(P-4)\over(P-2)^2}\)
它们共同作用结果为：6*∏\((P*{(P-4)\over(P-2)^2})\),其值就是公共系数

白新岭

上边的极限表达值似曾相识，它与用孪生素数对的中项和合成的公共系数表示完全一致。
对于调节系数来说，也是一致的，只有对应的剩余类不尽相同，整除的还是：∏(\({P_i-2}\over{P_i-4}\))

白新岭

2024年4月6日15:10周六农历二月廿八
我们研究分析二生素数的中项和（或差）合成时，总会遇到合成方法数与
剩余类的个数关系恒等式这个统一的模式，单丛内部合成来说，我们可能
觉着，它们的公共系数应该一致，实际上会有细微的差别的，它总的式子
形式基本一致，但是，有个细节需要注意，那就是，当其间距等于某素数
的2倍时，也可能多次涉及到，比方说，6,10,14,22,30它们，6对于素数3而言，
它的外部合成，素数3时与，跨度为2的，4的不同。我们具体分析一下，就
有了结果。
针对素数3的，合成数的公共系数就有原来的：\(3*{1\over1}\),变成了
\(3*{1\over4}\)，是个不小的变化，也就是说，它是原来的\(1\over4\),
因为原来的孪生素数对的中项，还有表兄弟素数的中项时，只分配到整除
3的偶数上，现在却能分配到所有偶数位上了，即是偶数就能合成。改变
了原来的分配方案。

二生素数        0        2v
中项置零        "-v        v
求其逆元        v        “-v

内部合成        v        “-v
v        2v        0
“-v        0        "-2v

xdjl        Tj2
2v        1
0        2
"-2v        1
合计        4

素数        2        3        5        7        11        13
3        1        0        3        3        3        3
-3        1        0        2        4        8        10
未占剩余类        0        1        0        0        0        0
未占剩余类        未        2        1        1        1        1
未占剩余类        申        占        4        2        2        2
未占剩余类        酉        占        酉        5        4        4
未占剩余类        戌        占        戌        6        5        5
未占剩余类        亥        占        亥        占        6        6
未占剩余类        子        占        子        占        7        7
未占剩余类        丑        占        丑        占        9        8
未占剩余类        寅        占        寅        占        10        9
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        11
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        12

外部合成               
素数3        1        2
1        2        0
2        0        1

3syl        Tj2
0        2
1        1
2        1
合计        4

只有对比，你才发现它们之间是有区别的。

白新岭

素数        2        3        5        7        11        13
5        1        2        0        5        5        5
-5        1        1        0        2        6        8
未占剩余类        0        0        1        0        0        0
未占剩余类        未        占        2        1        1        1
未占剩余类        申        占        3        2        2        2
未占剩余类        酉        占        4        5        4        4
未占剩余类        戌        占        戌        6        5        5
未占剩余类        亥        占        亥        占        6        6
未占剩余类        子        占        子        占        7        7
未占剩余类        丑        占        丑        占        9        8
未占剩余类        寅        占        寅        占        10        9
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        11
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        12

v=5时，                               
外部合成                               
素数5        1        2        3        4
1        2        3        4        0
2        3        4        0        1
3        4        0        1        2
4        0        1        2        3

5syl        Tj2
0        4
1        3
2        3
3        3
4        3
合计        16

当v=5时，即二生素数（0,10），此时，外部合成，针对素数5的公共合成
系数是：\(5*{3\over{16}}\).而孪生素数对的中项时为：\(5*{1\over9}\)
一个3/16，与原来的1/9，它们的分配大不一样，原来是整除的是一类，与±2
同余的是一大类数，剩余的2个剩余类是一大类数（从拥有合成方法数上划分）
现在，是整除的为一大类数，非整除的是一大类数，两级分化，以前是三级分化
正常来说，二生素数的中项和（或差）针对素数P来说，一般是三个不同的分组，
当v能被某素数P整除时，是分成了两部分，就不是三部分了。

所以，我们针对每个二生素数的中项和（或差）的合成，要先分析，在下结论，不能相当然。

白新岭

2024年4月9日17:01周二农历三月初一
二生素数的中项和（或差）合成，对于公共系数而言，所有公共系数对素数2免疫，
因为素数2，非此即彼，它剩下那个剩余类未占，都是整体“1”，不会进行从新
分布，调整，还有一个问题，因为2生素数的自对称性，无论是剩下，剩余类1，还是
0，相加，或相减，都是0，即整除2，不能合成除2余1的剩余类。所以，素数2对
公共系数不影响；而当大于素数2时，其他素数都有可能影响公共系数，例如，
素数3，当二生素数的跨度不是3的倍数时，只留下3的1个剩余类，未被占用，所以，
只能合成3的其中一个剩余类，而当是3的倍数时，这时，是两个剩余类未被占用，
有2*2=4种合成方法，分别落到3的3个剩余类上，与原先的，1*1=1种合成方法，
只能落到它其中的一个剩余类上，有着根本区别；当其跨度是多个奇素数因子组成
时，每个组成因子都会影响，改变公共系数，这种情况属于不同二生素数之间的
调节系数，与同一个二生素数对公共系数的调节系数不一样，它是针对合成数的
归属类的一个调整；而不同二生素数的公共系数是针对二生素数的跨度值，
影响到公共系数的一个调整，也就是说，一个是调整公共系数，另一个是在
公共系数不变的情况下，由公共系数调整到（或者说还原到，更确切）合成数
本身的适合系数上。 这些说辞，你不一定能看懂，除非你对这类问题有一个
基本研究过程，接触多了，就能体会到有所指了。
这样说吧，二生素数（0,2），它的中项合成（加与减无妨），其公共系数假设
为A，针对不同的合成数，是把公共系数A做为调整对象，它有两种情况需要调整
系数，一个是合成数是奇素数的倍数时，需要调整；另外一种情况是，合成数
与奇素数相除，余数与±2同余时要调整；其他情况无需调整；它们的调整（在
公共系数的基础）都是针对合成数与素数的相除，剩余的不同而言，主要强调
是针对合成数。
    而不同的二生素数的公共系数调整，是针对二生素数的跨度而言，因为它
一旦是奇素数的倍数，会改变剩余类的个数，从而影响到总合成方法数，也会
导致合成数从新分布，就拿素数5来说，如果跨度不是5的倍数，则占去2个
剩余类，留下3个剩余类未被占用，合成方法数是：3*3=9种，这9种方法如何
分配（到5的剩余类上，不一定每个剩余类都有合成方法，不过，根据剩余类
个数过半原理，5的所有剩余类都能至少分到一种合成方法）；而当跨度是5
的倍数时，这会有4个剩余类未占，只占了剩余类0，合成方法数为:4*4=16.
原来是9种，现在是16种，这16种的分配方案，与9种分配方案是不同的，
从而影响了它们（只合成数所参照的公共系数）公共系数，这也是一种
偷懒行为，有了一个二生素数的公共系数后，对于其他二生素数的公共
系数不在去求了，而是用它们之间的关系求出。求出公共系数后，对于此
二生素数的合成数来说，是以这个新得到的公共系数为调整对象，