《四色猜想中染色困局构形的4-染色》文中的四个创新定理及其作用

zhangyd2007@soh

                                        《四色猜想中染色困局构形的4-染色》文中的四个创新定理及其作用

                                                                 第一：发现并且证明了两个新的定理

      2017年12月，张彧典发现并且证明了两个重要定理：在任何一幅用四色染色的极大平面图中，不可避免地存在至少 “一个四边形之四个顶点用四种不同颜色染色”，简称为“四色顶点四边形”存在定理（即定理1），
      同时证明了四色顶点四边形的性质定理（即定理2）：
     在四色顶点四边形中，已知对角链被它的相反对角链替换时，只会改变构形的几何结构，而不会改变构形的色图。
这两个定理为E族构形之几何结构的非十折对称化提供了正确方法。

                                                                  第二：找到了E-族（4个）构形

     1935年，《美国数学学会会刊》发表了《对已部分染色地图的一组操作》【1】给出赫伍德反例构形的基本模型，同时提出了一个Errera图（即构形），称之为“染色困局”构形。
《一种试探式的平面图四染色》【2】一文又把Errera图称之为CK图。
      1992年，《已知的赫伍德范例》【3】把Errera图用它的对偶图简化表示出来，我们称之为“E构形”，就是论文中图3之E1。
为了名称的统一，我们把以上3种叫法统一为“染色困局”构形 。
       2018年，张彧典通过解析上述3个同类文献，找到了与E构形同胎的另外3个构形，这4个构形统称为“E-族构形”，分别记为
E1,E2,E3,E4 。E-族构形的发现，为完善两个已知的重要定理以及产生新的定理打下理论基础。

                                               第三:完善了两个已知定理并且由它们导出一个新的定理

      在文献2《一种试探式的平面图四染色》中已经通过E1构形证明了一个引理，这就是
    “引理3.1：当初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期”。
这个引理中所说的“初始染色为CK0”，就是初始的色图，“算法2.1”就是H染色程序。
      在文献3《已知的赫伍德范例》中，米勒她们两人给出的范例2即“E构形”，并且证明了：在“四次逆时针赫伍德颠倒之后，构形发生周期性循环”，这里我们不妨称为引理3.2。这个引理中所说的“四次逆时针赫伍德颠倒”就是H染色程序。
      张彧典通过E族中的4个构形周期循环性分析，证明了它们周期循环的根本原因，不仅是因为构形的初始染色，而且是因为它们都具有的十折对称性几何结构。为什么认识有差别呢？理由是：文献1、2、3只是考虑到E族中的一个构形即Errera图的共性---色图CK0循环，而没有考虑到E族中的四个构形的共性---十折对称的几何结构也循环。
      所以引理3.1应该完善叙述为：
   “当具有十折对称几何结构且初始染色为CK0时，算法2.1循环，并以20种不同染色序列为一个周期”。
引理3.2应该完善叙述为：
      ”当对埃雷拉构形施行H染色程序时，其十折对称且初始染色发生周期性循环。”
;显然，以上两个引理互为逆定理，如果把引理3.1作为原定理，那么引理3.2 就是它的逆定理。 根据高中数学中的四种命题真假性分类可以判定，引理3.1的四种命题都是真命题，所以它的否定理一定成立，即
      定理3：
   “当初始染色的CK0不具有十折对称几何结构时，算法2.1不循环。”
      把定理3推而广之，得到推论：
  “如果任意染色困局构形不具有十折对称几何结构时，那么H染色程序一定不循环，即经过有限次的颠倒染色后使得构形可约。
     定理3及其推论为″点与边无限、非十折对称几何结构的染色困局构形"之可约提供了理论证明。

                                              第四:找到了E族4构形及其放大构形的“z染色程序”（定理4）

     对于E族4个构形，如果运用H染色程序求解，都会发生周期性循环，无法证明其可约。但是，四个E族构形中，欧文、敢峄等人发现E1存在A-B环，张彧典发现E2也存在A-B环，而E3、E4存在C-D环，当在这两种特征环外作与之相反色链的颠倒染色时，都是可约的，于是完善了前人的片面认识，统一称“张氏染色程序”（简记为Z染色程序），也可以称为定理4。这个定理为E族4构形及其放大构形的可约提供了科学方法。
     然后，运用完全数学归纳法证明了：
     对于任意具有十折对称几何结构的构形求解，Z染色程序可行。
     包括任意放大的，只要没有破坏十折对称几何结构的基本框架，Z染色程序仍然可约。

   张彧典等人通过4个定理的确立，完成了四色猜想中染色困局构形理论性的可约证明，也就是弥补了肯普（Kempe）证明d(v)=5时的漏洞，从“实践+理论”结合上给出四色猜想一个完整而简短的证明。论文《四色猜想中染色困局构形的4-染色》，在2022年发表于《应用数学与应用物理杂志》第3期（总10期），中英文对照版见数学中国哥猜难题专栏。至此，完成了他们研究四色猜想的人工证明，历经40年的不懈探索，实现了阿佩尔的预见：
     四色问题的一个简短证明有朝一日会被发现，甚至被因此而一举成名的天才高中生所发现。
     愿意切磋的联系18335385319(也是微信号)。

Nicolas2050

天才高中生张彧典，一事无成，连大学都没考上！