|
本帖最后由 elim 于 2024-1-7 20:49 编辑
门外汉给出了那人必经且达到过的一些点 \(\{1-\frac{1}{2^n}\}\).其中\(n=1,2,3,\ldots\)遍历正整数全体.
春风先生怎么看让他自己说,其他人都接受1大于序列的各项吧?无论如何, 我接受这个事实.
在这个意义上,我同意这个序列没有达到 1 的论断。对每个 n, 那人到过点 \(1-\frac{1}{2^n}\) 以及比它
更大的点,所以那人到过比序列各点都大的点\(\alpha\),若\(\alpha< 1,\)则\(\varepsilon:=1-\alpha > 0\)
对 \(n>\lceil\varepsilon^{-1}\rceil\) 有 \({\small 0<\dfrac{1}{2^n}<\dfrac{1}{n}<}\;\varepsilon\implies \alpha< 1-\small\dfrac{1}{2^n}\) 与 \(\alpha\)的取法不合.
所以 \(1-\frac{1}{2^n}< 1\le\alpha\). 可见那人到达过 1.
一般地,对严格增序列有界序列 \(\{a_n\}\),我们如下结果:
1) 序列收敛,\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n =\sup\{ a_n\mid n\in\mathbb{N}^+\}\);
2) 序列的各项均小于序列的极限;
3) 若序列各项属于某动点的轨迹,则该动点到达过序列的极限点.
整个讨论没有什么矛盾,但与门外汉,jzkyllcjl 的预期矛盾,
这个预期是: 如果序列各项都小于某数,那么序列的极限也小于该数。
他们有可能还认为序列各项达不到其极限是极限理论的悖论? 不知道。
|
|