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摘要 人们为什么解答不了盖世难题哥德巴赫猜想?到底怎样才能攻克它?这是研究者首先要解答的问题。
攻克哥德巴赫猜想必须具备主客观条件。客观条件就是“物质”基础:知识。无“米”下锅是进攻失败不可抗拒的客观原因。主观条件就是研究方法、能力。
所缺“新知识”或曰全新的数学基本概念、理论,就是连续合数、N值区间之排列、构成形式、内涵和规律。
“新方法”就是新的研究思路、方法、策略。具体而言,就是新的知识发现法;可以扫除“障碍”的宏观战略以及微观战役战术研究法。
发现新知识新方法,克服论证失败的客观、主观原因,问题迎刃而解。反之,应该知难而退。
笔者在此基础上,顺理成章证明了哥德巴赫猜想“1+1”式数的“区间下限”公式,迎刃而解了难题。
回头看,发现了“新知识”,扫除进攻障碍挺简单:数列2n由r个“2n值区间”构成,“1+1”式数下限公式=〉公式表明,每个“2n值区间”的“1+1”式数的下限不仅不小于1,而且随r递增而递增。
关键词 哥德巴赫猜想 论证 成败 原因 方法
问题简介 哥德巴赫猜想,是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的。该猜想通常表述为如下两个命题。
(1) 每个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (2) 每个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。
在912年召开的第五届国际数学会上,朗道说过,证明哥德巴赫猜想是现代数学家力所不能及的。
1921年,哈代在哥本哈根召开的数学会上说,哥德巴赫猜想的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。
1992年2月13日,中科院数研所所长王元等人在新闻发布会上称,“200多年了,哥德巴赫猜想都没被解开,因而再过几十年,甚至100年也不稀奇”。
因此,该猜想被誉为“数学史上最伟大的猜想”“世界超级难题”“数学皇冠上的璀璨明珠”。
论证哥德巴赫猜想成败的主客观原因
(说明:为了便于阅读理解论文、供人借鉴参考,笔者打破论文写作惯例,‘创新’增写了研究思路、方法、条件。如果不被认可,删除便是。)
人们为什么解答不了盖世难题哥德巴赫猜想?到底怎样才能攻克它?这是研究者首先要解答的问题。
笔者发现,前中国科学院数学研究所所长王元院士等人,一再举行新闻发布会宣称数学界的“共识”:“可以确信,在哥德巴赫猜想的研究中,有待于将来出现一个全新的数学观念”。也就是说,运用现有的知识不可能解答哥德巴赫猜想,攻克它非得有崭新的知识不可。做不了无米之炊,至今近300年了,无数人研究由是功亏一篑。因此,未知的“新知识”成为进攻路上“不可逾越的障碍”,是论证猜想必然失败的不可抗拒的客观原因。没有(能力)发现它们,以及怎样利用它们消除障碍(‘利用’‘消除’必有对错方法),是论证猜想失败的主观原因。
换言之,攻克哥德巴赫猜想必须具备主客观条件,缺一不可。客观条件就是“物质”基础:知识。主观条件就是研究方法、能力。
不言而喻,发现新知识新方法,克服论证失败的客观、主观原因,问题迎刃而解。反之,应该知难而退。
不但研究哥德巴赫猜想必须具备主客观条件,而且一切科学研究、发现、创新,都必须具备主客观条件。
论证哥德巴赫猜想必备的新知识
论证失败的客观原因是“无米下锅”,笔者探讨数十年,终于确认此“米”,或曰新知识或曰全新的数学基本概念、理论,就是众所周知其然而未知其所以然的数列、连续合数、N值区间之排列、构成形式、内涵和规律。
与论证失败的主观原因反其道而行之,发现新知识的正确方法,就是从客观实际出发进行基础理论研究,周全探讨连续合数N值区间排列、构成形式规律之“所以然”,推导其定理。
笔者侥幸发现了解答哥德巴赫猜想不可或缺的此两类平常渺小的“新知识”,或曰数学基本常识,并证明了解答歌德巴赫猜想的两个引理。
一、 N值区间定理 每个素数制约统辖自己的平方至与己相邻的后面一个素数平方的所有自然数,形成相对独立的一个封闭值域区间。任意长自然数列N,由N平方根内的素数个数个这样的区间组成。
证明 两个相邻素数各自平方之间的连续自然数,共有一个自身平方根内的最大素数Pr,例如Pr=11=〉(11x11)≤N≤(13x13-1)=〉这些自然数,除开末个数外就是“诸侯王素数11统辖的”N值的“诸侯国”的“有界区间”。有界区间根据素数序号命名,如例子区间叫第6个“N值区间”。
前x(1≤x≤r)项素数=〉前r个“N值区间”,Pr.Pr=N=〉“前N项自然数列”=“r个N值区间”=〉自然数列N有r+1个素数统辖的区间(1非素数,1、2、3为N的特殊起始区间。本文把1视为素数,则区间定义已涵盖,则有r个区间。1号区间麻雀虽小,却五脏俱全。既有奇数、偶数,合数、素数,又有非合数非素数的自然数“开国皇帝”1。其它大小区间,哪怕大得难于想象,少了1)。即:
第一个N值区间:1,2,3。
第二个N值区间:4,5,6,7,8。
第三个N值区间:9,10,11···23,24。
第四个N值区间:25,26,27···47,48。
第五个N值区间:49,50,51···119,120。
···
第r个N值区间:大于Pr·Pr及其至N的所有自然数。
Pr·Pr=N时,该N值区间只有它1个数。
每个自然数区间第一个数,就是该区间的“N值区间下限”。不言而喻,偶数列由r个(1非素数除外)“2n值区间”构成。每个偶数区间的第一个数就是该区间的“2n值区间下限”。
由此观之,“N值区间定理”的定义,是“N值区间”,r个“N值区间”两个新名词和“自然数列”的概念和内容的“集合”。证毕。
推论 “前N项自然数列”=“r个N值区间”=〉第r个N值区间必有第(r+1)位素数。不然没有第(r+1)个N值区间,与自然数无穷矛盾=〉素数任意多。
二、连续合数定理 令n、x、 k为自然数,2≤x≤k k!表自然数前k项的积,则{n=k!+x}为x个连续合数列,且其素因子1≤j≤k≤x。
例如 2≤x≤5 由n=k!+x分别得:
3!+2=2x3+2=8
3!+3=2x3+3=9
4!+2=2x3x4+2=26
4!+3=2x3x4+3=27
4!+4=2x3x4+4=28
5!+2=2x3x4x5+2=122
5!+3=2x3x4x5+3=123
5!+4=2x3x4x5+4=124
5!+5=2x3x4x5+5=125
证明 2≤x≤k=>x∣k! x∣x=>x∣(k!+x),{k!+x}为x个连续合数 。2≤x≤k=>1≤j≤k≤x 证毕。
推论1 任意改变k!的因数(减小时,素因子指数不能为0),定理依然成立。
例如 改变k=5例的因数2为2x2:
5!+2x2=2x2x3x4x5+2=242
5!+2x2=2x2x3x4x5+3=243
5!+2x2=2x2x3x4x5+4=244
5!+2x2=2x2x3x4x5+5=245
推论2 k、x任意大,k!的因数可以任意改变=>自然数内的连续合数列任意多、项数任意多。
推论3、改令k为素数,定理、推论仍然成立。
推论4、不言而喻,两相邻奇素数差为2n。由推论2可知,其中n可能任意大。
推论5、···证毕。
两个定理的功用价值 它们揭示了两个自然数的排列、构造形式、规律,突破、推进了数学基础理论研究。共同证实了已有的全部求计素数个数、“1+1”式数公式都隐藏了大小不一的“N值区间误差”,连“准确的”“容斥公式”、所谓“素数定理”都不例外;没有这两个定理,根本无法攻克著名数学家哈代说的解答哥德巴赫猜想的“细节”障碍。证据见《容斥公式素数定理隐藏了重大失误》及下“正文”。
论证哥德巴赫猜想成败的方法
不言而喻,发现新知识新方法,克服论证失败的客观、主观原因,问题迎刃而解。反之,应该知难而退。
“新方法”就是新的研究思路、方法、策略。具体而言,就是新的知识发现法;可以扫除“障碍”的宏观战略以及微观战役战术研究法。
解答“1+1”可行性分析
英国杰出数学家哈代(Godfrey Harold)说:“能够最终证明猜想的方法,应该与我与李特伍德的方法类似,我们不是在原则上没有成功,而是在细节(有研究家改称‘余项’‘波动’,笔者认为当叫计算‘误差’)上没有成功”。客观地说,就是以“1+1”式数“连乘积公式”为代表的大师们的“(1+1)答案数估计公式”,都表明了“答案数”不仅不小于1,而且随偶数增大而递增的趋势,虽然原则上已经证明了哥偶猜成立,似乎问题解决了。但是该公式存在大师们“根本无法解决”的、从而引发貌似可能改变结论的质疑之“细节”问题。数学界因此不予认可,功亏一篑。此后许多数学家千方百计都攻而不克,“细节”成为攻克“1+1”的“不可逾越的”障碍。不言而喻,只要化解了“细节”(准确说,完全消除由细节引发的猜想不成立的质疑),就大功告成。反之找不到“细节”及其成因、化解方法,束手无策。
解答“1+1”的战略方案
毫无疑问,要想攻克哥德巴赫猜想“1+1”,首先要做宏观战略考量,找到证明它的正确、可行的途径、方法。
证明方案有哪些?哪种方案可行?障碍在哪里,成因是什么,怎样扫除障碍?还没有人提出讨论这个问题。作者特地开头,抛砖引玉。
从偶数表成两自然数和推知,可以采取的证明法有“穷举(验证)法”,显然此路不通。“概率法”,即证明2n表成两素数和的概率,虽可行,但难免质疑“概率不等于必然”。“筛(除合数)法”,“计算(答案数)法”(两法异名而已)。“公式法”,即证明n-x,n+x同时为素数,再证必有2n=(n-x)+(n+x)。“归纳法”,即证明“不大于(r-1)项素数2倍的偶数集,是奇素数列前r项两两素数之和的不同值集的子集”。“反证法”,即假定命题不成立,证明假设成立不成立。
笔者采取了不容置辩的“筛法”:从每个2n表成的所有两自然数和式中,减去所有有合数和1的式子,都有余式必然是两个素数和,则命题“1+1”成立。
方案实施具体战役困难
要筛除合数,必然产生下面的困难。
1、哪些式子里有合数?
2、怎样计算减去有合数的式子?
克服困难的战术可行性手段
1、根据合数的定义、性质,推知凡是素数2,3,5,7···直到不大于2n平方根的素数除开其1倍外的倍数,都是合数。
2、改进革新惯常的(容斥公式)计算方法(在此不议其原因、两法各自利弊),根据“筛法”运用“乘法分配律”计算,分别逐次减去2,3,5,7···直到不大于2n平方根的素数Pr除开其1倍外的倍数的数目。根据“素数的判定定理”推知,除开已经减去的合数外,余式内没有合数了。
如果不取整运算,最后得出“1+1”式子数目的近似值(公式);取整运算,假定每次减去的合数式子数都该进成整数,最后得出“1+1”式子数目的下限(公式);假定每次减去的合数式子数都该舍成整数,最后得出“1+1”式子数目的上限(公式)。因此,此种证明法又叫“计算法”。
决定公式生死的细节
这些公式都存在哈代指出的致命的“细节”问题。显然,不必讨论近似值公式、上限公式存在的“细节”,只需要研究化解下限公式的“细节”。该式存在以下“细节”问题。
1、按公式计算,某些大偶数的“答案数”大于实际,或大于小偶数的“答案数”,而实际比小偶数少。
2、不管多么小,公式存在取整计算误差。
细节的产生原因
产生细节1的原因有2。其一,连续合数任意多,两数相差可能特别巨大,而它们内的素数一样多。其二,各个偶数的素因子大小多少不同,导致减去有合数的式子数不同。
产生细节2的原因,是取整运算势必舍去尾数或进成整数。
化解细节的具体方法
1、由《N值区间定理》《连续合数定理》知道,偶数列2n由r个“2n值区间”构成,连续合数任意多,所以特别限定:取每个“2n值区间”的下限即2n=Pr.Pr+1代入该式计算,其结果数就是该“2n值区间”的所有偶数的“1+1”式数的下限!因为有合数和1的式子已经全部减去,所以其它大于Pr.Pr+1的偶数之“1+1”式数比此下限只大不小。已知2n不大时命题(1)成立,该式“模糊约分”表明,2n稍大时不仅每个“2n值区间”的“1+1”式数下限都不小于1,而且随着Pr增大递增。因此“1+1”成立无疑。
2、因为每次取整误差不大于1,r稍大每增大1“答案数”增大数不仅不小于1而且越来越大,所以再从该式减去加大的取整运算的误差上限(r-2),结论也不会不变。
事实胜于雄辩,论文为据:哥氏猜想“1+1”式数“区间下限”公式(搜索可见) |
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